균일하게 분포 된 두 점 사이의 예상 거리를 찾는 방법은 무엇입니까?

좌표를 정의하면 $(X_{1},Y_{1})$ 과 $(X_{2},Y_{2})$ 어디

$$X_{1},X_{2} \sim \text{Unif}(0,30)\text{ and }Y_{1},Y_{2} \sim \text{Unif}(0,40).$$

그들 사이의 거리의 예상 값을 어떻게 찾을 수 있습니까?

거리는 다음과 같이 계산되기 때문에 생각하고있었습니다.$\sqrt{(X_{1}-X_{2})^{2} + (Y_{1}-Y_{2})^{2}})$ 기대 값은 $(1/30 + 1/30)^2 + (1/40+1/40)^2$?

##problem
x <- runif(1000000,0,30)
y <- runif(1000000,0,40)
Uniform <- as.data.frame(cbind(x,y))
n <- nrow(Uniform)
catch <- rep(NA,n)
for (i in 2:n) {
      catch[i] <-((x[i+1]-x[i])^2 + (y[i+1]-y[i])^2)^.5
}
mean(catch, na.rm=TRUE)
18.35855

당신이 찾고있는 것을 올바르게 이해하면 도움이 될 것입니다. 임의의 점 사이의 거리를 파악하려고합니다. 누가 X 값은 unif (0,30)에서 생성되고 Y 값은 unif (0,40)에서 생성됩니다. 방금 각 분포에서 백만 개의 RV를 생성 한 다음 x와 y를 바인딩하여 각각에 대한 점을 만듭니다. 그런 다음 점 2와 1 사이의 거리를 점 1,000,000과 999,999 사이의 거리까지 계산했습니다. 평균 거리는 18.35855입니다. 이것이 당신이 찾고 있던 것이 아닌지 알려주세요.

볼록 세트 내에서 두 개의 독립적이고 균일 한 임의의 점 사이의 예상 거리가 지름의 절반보다 약간 작다는 것은 기하학적으로 문제를 살펴보면 분명 합니다. (두 점이 모퉁이와 같은 극단적 인 영역 내에 위치하는 것이 비교적 드물기 때문에 더 작아야하며, 더 가까운 경우 중심 근처에있게됩니다.)이 사각형의 직경은$50$이 추론만으로 우리는 그 대답이 $25$.

정확한 답 은 거리의 확률 가중치 값으로 기대 값을 정의하여 얻습니다. 일반적으로 변의 직사각형을 고려하십시오$1$ 과 $\lambda$; 나중에 올바른 크기로 조정합니다$\lambda = 40/30$ 기대 값을 곱하면 $30$). 이 사각형의 경우 좌표 사용$(x,y)$균일 확률 밀도는 $\frac{1}{\lambda}dx dy$. 이 직사각형 내의 평균 거리는 다음과 같습니다.

$$\int_0^\lambda\int_0^1\int_0^\lambda\int_0^1 \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \frac{1}{\lambda}dx_1 dy_1 \frac{1}{\lambda} dx_2 dy_2.$$

기본 통합 방법을 사용하면 간단하지만 쉽지 않습니다. 나는 컴퓨터 대수 시스템 ( Mathematica )을 사용하여 답을 얻었습니다.

$$[2+2 \lambda ^5-2 \sqrt{1+\lambda ^2}+6 \lambda ^2 \sqrt{1+\lambda ^2}-2 \lambda ^4 \sqrt{1+\lambda ^2} +5 \lambda \text{ArcSinh}(\lambda)+5 \lambda ^4 \log\left(\frac{1+\sqrt{1+\lambda ^2}}{\lambda }\right)]/(30\lambda^2).$$

존재 $\sqrt{1+\lambda^2}$많은 용어에서 놀랄 일이 아닙니다. 사각형의 지름입니다 (두 점 사이의 가능한 최대 거리). 간단한 평면 도형 내에서 평균 거리를 조사한 적이 있다면 대수의 모양 (아크 신을 포함)도 놀랍지 않습니다. 또한, 존재$30$ 분모가 측면의 직사각형을 포함하는 문제의 세부 사항과 관련이 없습니다 $30$ 과 $40$: 그것은 보편적 인 상수입니다.)

와 $\lambda=4/3$ 계수로 스케일 업 $30$이 평가는 $\frac{1}{108} (871+960 \log(2)+405 \log(3)) \approx 18.345919\ldots$.

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상황을보다 깊이 이해하는 한 가지 방법 은 지름을 기준으로 평균 거리를 그리는 것 입니다.$\sqrt{1+\lambda^2}$ 다양한 가치의 $\lambda$. 극단적 인 값$0$ 또는 훨씬 더 $1$)에서 직사각형은 기본적으로 1 차원이되고보다 기본적인 통합은 평균 거리가 직경의 1/3로 줄어들어야 함을 나타냅니다. 또한 직사각형의 모양이$\lambda$ 과 $1/\lambda$동일, 결과를 로그 스케일 로 플롯하는 것이 당연합니다.$\lambda$대칭이어야합니다. $\lambda=1$(정사각형). 여기있어:

이것으로 우리 는 경험 법칙을 배웁니다 : 직사각형 안의 평균 거리는$1/3 \approx 0.33$ 그리고 (대략) $0.37$제곱 사각형과 관련된 큰 값과 긴 스키니 (선형) 사각형과 관련된 작은 값으로 이러한 극단 사이의 중간 점은 가로 세로 비율이 다음과 같은 직사각형에 대략적으로 달성됩니다.$3:1$. 이 규칙을 염두에두고 직사각형을 한 눈 에보고 평균 거리를 두 개의 유효 숫자로 추정 할 수 있습니다 .