하나의 랜덤 변수 함수의 분산

알려진 분산과 평균을 갖는 임의의 변수 가 있다고 가정 해 봅시다 . 문제는 주어진 함수 f에 대한 의 분산은 무엇인가입니다 . 내가 아는 유일한 일반적인 방법은 델타 방법이지만 근사치 만 제공합니다. 이제 에 관심이 있지만 일반적인 방법을 알고 있으면 좋을 것입니다. $X$ $f(X)$ $f(x)=\sqrt{x}$

편집 29.12.2010
Taylor 시리즈를 사용하여 일부 계산을 수행했지만 올바른지 확실하지 않으므로 누군가 확인할 수 있으면 기쁠 것입니다.

먼저 $E[f(X)]$
$E[f(X)] \approx E[f(\mu)+f'(\mu)(X-\mu)+\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)(X-\mu)^2]=f(\mu)+\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)\cdot Var[X]$

이제 우리는 근사치 $D^2 [f(X)]$
$E[(f(X)-E[f(X)])^2] \approx E[(f(\mu)+f'(\mu)(X-\mu)+\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)(X-\mu)^2 -E[f(X)])^2]$

의 근사하여 $E[f(X)]$ 우리가 알고있는 $f(\mu)-Ef(x) \approx -\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)\cdot Var[X]$

이것을 사용하면 다음과 같이 얻을 수 있습니다 :
$D^2[f(X)] \approx \frac{1}{4}\cdot f''(\mu)^2\cdot Var[X]^2-\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)^2\cdot Var[X]^2 + f'(\mu)^2\cdot Var[X]+\frac{1}{4}f''(\mu)^2\cdot E[(X-\mu)^4] +\frac{1}{2}f'(\mu)f''(\mu)E[(X-\mu)^3]$
$D^2 [f(X)] \approx \frac{1}{4}\cdot f''(\mu)^2 \cdot [D^4 X-(D^2 X)^2]+f'(\mu)\cdot D^2 X +\frac{1}{2}f'(\mu)f''(\mu)D^3 X$

variance random-variable delta-method

— 토멕 타르 친 스키
소스

델타 방법은 점근 분포에 사용됩니다. 임의의 변수가 하나만 있으면 사용할 수 없습니다.

— mpiktas

@ mpiktas : 실제로 델타 방법에 대해 많이 알지 못합니다. wikipedia에서 무언가를 읽었습니다. 이것은 위키에서 인용 한 것입니다 : "델타 방법은 2 차 Taylor 확장을 사용하여 하나 이상의 랜덤 변수 함수의 분산을 근사화합니다."

— Tomek Tarczynski

: 당신이 원하는 정확히 무엇을 가지고 위키 피 디아 보인다 en.wikipedia.org/wiki/...을 . 내 대답을 다시 작성하겠습니다. Taylor 확장을 과소 평가 한 것 같습니다.

— mpiktas

Tomek, 내가 편집하지 않은 편집 내용에 동의하지 않으면 언제든지 다시 변경하거나 롤백하거나 차이점을 지적하고 설명을 요청할 수 있습니다.

— Glen_b-복지 모니카

@Glen_b : 나는 그들에게 동의합니다 E (X-mu) = 0은 E [(X-mu) ^ 3] = 0을 암시하지 않습니다.

— Tomek Tarczynski

최신 정보

Taylor 확장을 과소 평가했습니다. 그들은 실제로 작동합니다. 나는 나머지 항의 적분이 제한되지 않는다고 가정했지만 약간의 노력으로 이것이 사실이 아님을 알 수 있습니다.

Taylor 확장은 한정된 닫힌 간격의 기능에 작동합니다. 유한 분산을 갖는 랜덤 변수의 경우 체비 쇼프 부등식 은

P (| X - E X | > c) \leq \frac{V a r (X)}{c}

$P(|X-EX|>c)\le \frac{Var(X)}{c}$

그래서 위해 어떤 우리는 충분히 큰 찾을 수 있습니다 그래서 $\varepsilon>0$ $c$

P (X \in [E X - c, E X + c]) = P (| X - E X | \leq c) < 1 - ε

$P(X\in [EX-c,EX+c])=P(|X-EX|\le c)<1-\varepsilon$

먼저 추정하자 . 우리는이 여기서 는 의 분포 함수입니다 . $Ef(X)$

\begin{aligned} E f (X) = \int_{| x - E X | \leq c} f (x) d F (x) + \int_{| x - E X | > c} f (x) d F (x) \end{aligned}

$\begin{align} Ef(X)=\int_{|x-EX|\le c}f(x)dF(x)+\int_{|x-EX|>c}f(x)dF(x) \end{align}$

F (x)

$F(x)$

X

$X$

첫 번째 적분의 도메인은 닫힌 간격으로 묶인 간격 이므로 Taylor 확장을 적용 할 수 있습니다. 여기서 이고 모든 대해 동등성이 유지됩니다 . Taylor 확장에서는 4 개의 용어 만 사용했지만 일반적으로 함수 가 충분히 부드러 우면 원하는만큼 많이 사용할 수 있습니다 . $[EX-c,EX+c]$

\begin{aligned} f (x) = f (E X) + f^{'} (E X) (x - E X) + \frac{f^{″} (E X)}{2} (x - E X)^{2} + \frac{f^{‴} (α)}{3} (x - E X)^{3} \end{aligned}

$\begin{align} f(x)=f(EX)+f'(EX)(x-EX)+\frac{f''(EX)}{2}(x-EX)^2+\frac{f'''(\alpha)}{3}(x-EX)^3 \end{align}$

α \in [E X - c, E X + c]

$\alpha\in [EX-c,EX+c]$

x \in [E X - c, E X + c]

$x\in[EX-c,EX+c]$

f

$f$

이 공식을 이전의 공식으로 대체

\begin{aligned} E f (X) & = \int_{| x - E X | \leq c} f (E X) + f^{'} (E X) (x - E X) + \frac{f^{″} (E X)}{2} (x - E X)^{2} d F (x) \\ + \int_{| x - E X | \leq c} \frac{f^{‴} (α)}{3} (x - E X)^{3} d F (x) + \int_{| x - E X | > c} f (x) d F (x) \end{aligned}

$\begin{align} Ef(X)&=\int_{|x-EX|\le c}f(EX)+f'(EX)(x-EX)+\frac{f''(EX)}{2}(x-EX)^2dF(x)\\\\ &+\int_{|x-EX|\le c}\frac{f'''(\alpha)}{3}(x-EX)^3dF(x) +\int_{|x-EX|>c}f(x)dF(x) \end{align}$ 이제 우리는 통합 영역을 증가시켜 다음 공식을 얻을 수 있습니다

\begin{aligned} E f (X) & = f (E X) + \frac{f^{″} (E X)}{2} E (X - E X)^{2} + R_{3} \end{aligned}

$\begin{align} Ef(X)&=f(EX)+\frac{f''(EX)}{2}E(X-EX)^2+R_3\\\\ \end{align}$ 여기서 이제 몇 가지 모멘트 조건에서이 나머지 항의 두 번째 항이 작은 만큼 크다는 것을 알 수 있습니다 . 불행하게도 첫 번째 항이 남아 있으므로 근사치의 품질은 및 경계 간격에서 의 3 차 미분의 거동에 따라 달라집니다 . 이러한 근사는 랜덤 변수에 가장 적합 합니다.

\begin{aligned} R_{3} & = \frac{f^{‴} (α)}{3} E (X - E X)^{3} + \\ + \int_{| x - E X | > c} (f (E X) + f^{'} (E X) (x - E X) + \frac{f^{″} (E X)}{2} (x - E X)^{2} + f (X)) d F (x) \end{aligned}

$\begin{align} R_3&=\frac{f'''(\alpha)}{3}E(X-EX)^3+\\\\ &+\int_{|x-EX|>c}\left(f(EX)+f'(EX)(x-EX)+\frac{f''(EX)}{2}(x-EX)^2+f(X)\right)dF(x) \end{align}$

P (| X - E X | > c)

$P(|X-EX|>c)$

E (X - E X)^{3}

$E(X-EX)^3$

f

$f$

E (X - E X)^{3} = 0

$E(X-EX)^3=0$

이제 분산에 대해 대해 Taylor 근사를 사용 하고 대한 공식을 빼고 차이를 제곱 할 수 있습니다. 그때 $f(x)$ $Ef(x)$

$E(f(x)-Ef(x))^2=(f'(EX))^2Var(X)+T_3$

여기서 은 순간 를 포함 합니다. 1 차 Taylor 확장 만 사용하여, 즉 1 차 및 2 차 도함수 만 사용하여이 공식에 도달 할 수도 있습니다. 오류 용어는 비슷합니다. $T_3$ $E(X-EX)^k$ $k=4,5,6$

다른 방법은 를 확장하는 것입니다 : $f^2(x)$

\begin{aligned} f^{2} (x) & = f^{2} (E X) + 2 f (E X) f^{'} (E X) (x - E X) \\ + [(f^{'} (E X))^{2} + f (E X) f^{″} (E X)] (X - E X)^{2} + \frac{(f^{2} (β))^{‴}}{3} (X - E X)^{3} \end{aligned}

$\begin{align} f^2(x)&=f^2(EX)+2f(EX)f'(EX)(x-EX)\\\\ &+[(f'(EX))^2+f(EX)f''(EX)](X-EX)^2+\frac{(f^2(\beta))'''}{3}(X-EX)^3 \end{align}$

마찬가지로 우리는 을 얻습니다. 여기서 은 과 유사합니다 .

\begin{aligned} E f^{2} (x) = f^{2} (E X) + [(f^{'} (E X))^{2} + f (E X) f^{″} (E X)] V a r (X) + {\tilde{R}}_{3} \end{aligned}

$\begin{align*} Ef^2(x)=f^2(EX)+[(f'(EX))^2+f(EX)f''(EX)]Var(X)+\tilde{R}_3 \end{align*}$

{\tilde{R}}_{3}

$\tilde{R}_3$

R_{3}

$R_3$

그런 다음 분산 공식은 여기서 는 세 번째 순간 이상입니다.

\begin{aligned} V a r (f (X)) = [f^{'} (E X)]^{2} V a r (X) - \frac{[f^{″} (E X)]^{2}}{4} V a r^{2} (X) + {\tilde{T}}_{3} \end{aligned}

$\begin{align} Var(f(X))=[f'(EX)]^2Var(X)-\frac{[f''(EX)]^2}{4}Var^2(X)+\tilde{T}_3 \end{align}$

{\tilde{T}}_{3}

$\tilde{T}_3$

— mpiktas
소스

나는 분산의 정확한 값을 알 필요가 없으며 근사치가 나를 위해 작동해야합니다.

— Tomek Tarczynski

실제로 OP의 에 대한 대략적인 공식 은 종종 경제, 금융 및 보험의 위험 분석에 사용됩니다.

E [f (X)]

$\mathbb{E}[f(X)]$

— Raskolnikov

@Raskolnikov, 예. 그러나 Taylor 확장에 대한 저의 오래된 지식과 모순됩니다. 분명히 나머지 용어를 고려해야합니다. 다항식이 경계 구간의 연속 함수에 균일하게 근사하므로 랜덤 변수가 경계인 경우 문제가 없습니다. 그러나 우리는 무한 랜덤 변수를 다룹니다. 물론 랜덤 노멀의 경우 우리는 그것이 효과적으로 구속되어 있다고 말할 수 있지만, 여전히 일반적인 경우에, 약간의 불쾌한 놀라움이 발생할 수 있습니다. 명확한 답변을 받으면 답변을 수정하겠습니다.

— mpiktas

의 세 번째 파생물 인 @Tomek Tarczynski 는 큰 대해 매우 빠르게 0이 되지만 거의 0에 가깝습니다. 따라서지지가 0에 가까운 균일 분포를 선택하면 나머지 항이 커질 수 있습니다.

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$

x

$x$

— mpiktas

귀하의 링크에서 평등은 대략적인 것입니다. 이 답변에서 모든 방정식은 정확합니다. 또한 분산에 대해 첫 번째 미분 값은 아니라 에서 추정됩니다 . 또한 나는 이것이 에서는 작동하지 않을 것이라고 언급하지 않았으며 , 에만 도메인이 0에 가까워 지면 근사적인 수식에 큰 오류가 발생할 수 있습니다 .

E X

$EX$

x

$x$

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$

X

$X$

— mpiktas

함수 f (x)가 임의적 (비선형) 인 경우 X의 첫 두 모멘트 (평균 및 분산)만으로는 충분하지 않습니다. 변환 된 변수 Y의 분산을 계산할뿐만 아니라 평균도 계산합니다. 이것을보고 아마도 문제를 공격하기 위해 변환 함수에 X 평균에 대한 Taylor 확장이 있다고 가정하고 거기에서 작동합니다.

— 레온 블로이
소스