Neg Binomial과 Jeffreys 'Prior

음의 이항 분포에 대해 Jeffreys를 먼저 얻으려고합니다. 내가 어디로 잘못 가고 있는지 알 수 없으므로 누군가가 그 점을 지적하면 도움이 될 것입니다.

좋아, 그래서 상황이있다 : I는 이항 및 음 이항를 사용하여 얻어진 이전의 분포를 비교이다 (두 경우 모두에서)가 어디에 시험과 성공은. 이항 경우에 대한 정답을 얻지 만 음수 이항에는 맞지 않습니다. $n$ $m$

Jeffreys의 이전 이라고합시다 . 그때, $\pi_J(\theta)$

π_{제이} (θ) \propto [나는 (θ)]^{1 / 2} .

$\pi_J(\theta)\propto [I(\theta)]^{1/2}.$

규칙적인 조건 (지수 가족을 다룰 때 충족 됨)에서

위의 식에서 음의 이항식은입니다 (총 성공 횟수은 고정되어 있으며은 아닙니다). 분포는-제 생각에는

나는 (θ) = - 이자형 (\frac{\partial^{2} 로그 엘 (θ | 엑스)}{\partial θ^{2}})

$I(\theta)=-E\left(\frac{\partial^2 \log L(\theta|x)}{\partial \theta^2}\right)$

n

$n$

x

$x$

m

$m$

n

$n$

때문에 성공 확률로 정의 성공의 수이다. 도 스칼라이고 벡터가 아니기때문에 이것은 가능성입니다. 그 후,

피 (미디엄 | θ) \propto θ^{미디엄} (1 - θ)^{엔 - 미디엄}

$p(m|\theta)\propto\theta^m(1-\theta)^{n-m}$

θ

$\theta$

m

$m$

m

$m$

이므로 Fisher 정보는

엘 (θ | 엔) \propto θ^{미디엄} (1 - θ)^{엔 - 미디엄} 로그 엘 (θ | 엔) = 미디엄 로그 θ + (엔 - 미디엄) 로그 (1 - θ) \frac{\partial 로그 엘 (θ | 엔)}{\partial θ} = \frac{미디엄}{θ} - \frac{엔 - 미디엄}{1 - θ} \frac{\partial^{2} 로그 엘 (θ | 엔)}{\partial θ^{2}} = - \frac{미디엄}{θ^{2}} - \frac{엔 - 미디엄}{(1 - θ)^{2}}

$L(\theta|n)\propto\theta^m(1-\theta)^{n-m}\\ \log L(\theta|n)=m\log\theta +(n-m)\log (1-\theta)\\ \frac{\partial\log L(\theta|n)}{\partial \theta}=\frac{m}{\theta}-\frac{n-m}{1-\theta}\\ \frac{\partial^2\log L(\theta|n)}{\partial \theta^2}=-\frac{m}{\theta^2}-\frac{n-m}{(1-\theta)^2}$

나는 (θ) = - 이자형 (\frac{\partial^{2} 로그 엘 (θ | 엔)}{\partial θ^{2}}) = \frac{미디엄}{θ^{2}} + \frac{이자형 (엔) - 미디엄}{(1 - θ)^{2}} = \frac{미디엄}{θ^{2}} + \frac{\frac{미디엄 θ}{1 - θ} - 미디엄}{(1 - θ)^{2}} = \frac{미디엄 (1 - θ)^{2} + \frac{미디엄 θ^{삼}}{(1 - θ)} - 미디엄 θ^{2}}{θ^{2} (1 - θ)^{2}} = \frac{미디엄 (1 - 2 θ) + \frac{미디엄 θ^{삼}}{(1 - θ)}}{θ^{2} (1 - θ)^{2}} = \frac{미디엄 (1 - 2 θ) (1 - θ) + 미디엄 θ^{삼}}{θ^{2} (1 - θ)^{삼}} = \frac{미디엄 (1 - 삼 θ + 2 θ^{2} + θ^{삼})}{θ^{2} (1 - θ)^{삼}} \propto \frac{1 - 삼 θ + 2 θ^{2} + θ^{삼}}{θ^{2} (1 - θ)^{삼}}

$I(\theta)=-E\left(\frac{\partial^2\log L(\theta|n)}{\partial \theta^2}\right)=\frac{m}{\theta^2}+\frac{E(n)-m}{(1-\theta)^2}=\frac{m}{\theta^2}+\frac{\frac{m\theta}{1-\theta}-m}{(1-\theta)^2}\\ =\frac{m(1-\theta)^2+\frac{m\theta^3}{(1-\theta)}-m\theta^2}{\theta^2(1-\theta)^2}=\frac{m(1-2\theta)+\frac{m\theta^3}{(1-\theta)}}{\theta^2(1-\theta)^2}\\ =\frac{m(1-2\theta)(1-\theta)+m\theta^3}{\theta^2(1-\theta)^3}=\frac{m(1-3\theta+2\theta^2+\theta^3)}{\theta^2(1-\theta)^3}\\ \propto\frac{1-3\theta+2\theta^2+\theta^3}{\theta^2(1-\theta)^3}$

그러나 이것은 나에게 정답을주지 않습니다. 정답은

이것은 내가 얻는 정보가

π_{제이} (θ) \propto \frac{1}{θ (1 - θ)^{1 / 2}}

$\pi_J(\theta)\propto \frac{1}{\theta(1-\theta)^{1/2}}$

는 이전이 정보의 제곱근에 비례해야하므로.

나는 (θ) = \frac{1}{θ^{2} (1 - θ)}

$I(\theta)=\frac{1}{\theta^2(1-\theta)}$

누구든지 실수를 찾을 수 있습니까? 분포의 설정 (성공과 각 확률의 실패 등)으로 무언가를 망쳐 놓더라도 놀라지 않을 것입니다.

Wikipedia 의 예상 값을 사용했으며 여기 에서 올바른 대답을 알고 있습니다 (3 페이지) .

— 헤 제브
소스

음 이항 분포가 다르게 공식화 될 수 있기 때문에 문제가 발생합니다. 결과적으로, 제형에 따라 기대치가 다릅니다. 음 이항 분포를 지정한 방법은 다음과 같습니다. $n$ 이다 $E(n) = m/\theta$ (예 : 여기 3 페이지 참조). 이를 통해 Fisher 정보는

나는 (θ) = 미디엄 (\frac{1}{θ^{2} (1 - θ)})

$I(\theta) = m\left(\frac{1}{\theta^2(1-\theta)}\right)$

따라서 Jeffreys의 이전은

π_{제이} (θ) = | 나는 (θ) |^{1 / 2} \propto θ^{- 1} (1 - θ)^{- 1 / 2}

$\pi_{J}(\theta) = |I(\theta)|^{1/2}\propto \theta^{-1}(1-\theta)^{-1/2}$

이미 언급했듯이.

— 시원한
소스

훌륭한! 그것은 내가 고투했던 매우 문제를 겪을 때 매우 유용하고 훌륭한 참고 자료입니다. 감사합니다!

— hejseb

다른 공식을 사용하는 솔루션을 찾았 습니다 . 여기를 참조 하십시오 . 기꺼이 도와 드리겠습니다. 천만에요.

— COOLSerdash