phi, Matthews 및 Pearson 상관 계수의 관계

13

phi와 Matthews 상관 계수는 동일한 개념입니까? 두 이진 변수에 대한 Pearson 상관 계수와 어떻게 관련이 있습니까? 이진 값이 0과 1이라고 가정합니다.

두 Bernoulli 랜덤 변수 와 간의 Pearson 상관 관계 는 다음 과 같습니다. $x$ $y$

ρ = \frac{E [(x - E [x]) (y - E [y])]}{\sqrt{Var [x] Var [y]}} = \frac{E [x y] - E [x] E [y]}{\sqrt{Var [x] Var [y]}} = \frac{n_{11} n - n_{1 ∙} n_{∙ 1}}{\sqrt{n_{0 ∙} n_{1 ∙} n_{∙ 0} n_{∙ 1}}}

$\rho = \frac{\mathbb{E} [(x - \mathbb{E}[x])(y - \mathbb{E}[y])]} {\sqrt{\text{Var}[x] \, \text{Var}[y]}} = \frac{\mathbb{E} [xy] - \mathbb{E}[x] \, \mathbb{E}[y]}{\sqrt{\text{Var}[x] \, \text{Var}[y]}} = \frac{n_{1 1} n - n_{1\bullet} n_{\bullet 1}}{\sqrt{n_{0\bullet}n_{1\bullet} n_{\bullet 0}n_{\bullet 1}}}$

어디

E [x] = \frac{n_{1 ∙}}{n} Var [x] = \frac{n_{0 ∙} n_{1 ∙}}{n^{2}} E [y] = \frac{n_{∙ 1}}{n} Var [y] = \frac{n_{∙ 0} n_{∙ 1}}{n^{2}} E [x y] = \frac{n_{11}}{n}

$\mathbb{E}[x] = \frac{n_{1\bullet}}{n} \quad \text{Var}[x] = \frac{n_{0\bullet}n_{1\bullet}}{n^2} \quad \mathbb{E}[y] = \frac{n_{\bullet 1}}{n} \quad \text{Var}[y] = \frac{n_{\bullet 0}n_{\bullet 1}}{n^2} \quad \mathbb{E}[xy] = \frac{n_{11}}{n}$

Wikipedia의 Phi 계수 :

통계에서, phi 계수 ( "평균 제곱 우연 계수"라고도하며 또는 로 표시됨 )는 Karl Pearson에 의해 도입 된 두 개의 이진 변수에 대한 연관 척도입니다. 이 측정 값은 해석시 피어슨 상관 계수와 유사합니다. 실제로 두 개의 이진 변수에 대해 추정 된 Pearson 상관 계수는 phi 계수를 반환합니다 . $\phi$ $r_\phi$

두 개의 랜덤 변수 와 대해 2 × 2 테이블이있는 경우 $x$ $y$

와 의 연관성을 설명하는 phi 계수 는 $x$ $y$
$ϕ = \frac{n_{11} n_{00} - n_{10} n_{01}}{\sqrt{n_{1 ∙} n_{0 ∙} n_{∙ 0} n_{∙ 1}}}$ $\phi = \frac{n_{11}n_{00} - n_{10}n_{01}}{\sqrt{n_{1\bullet}n_{0\bullet}n_{\bullet0}n_{\bullet1}}}$

Wikipedia의 Matthews 상관 계수 :

Matthews 상관 계수 (MCC)는 다음 공식을 사용하여 혼동 행렬에서 직접 계산할 수 있습니다.
$MCC = \frac{T P \times T N - F P \times F N}{\sqrt{(T P + F P) (T P + F N) (T N + F P) (T N + F N)}}$ $\text{MCC} = \frac{ TP \times TN - FP \times FN } {\sqrt{ (TP + FP) (TP + FN) (TN + FP) (TN + FN) } }$
이 방정식에서 TP는 진양 수, TN 진 음수, FP는 오 탐지 수, FN은 거짓 음수입니다. 분모의 4 개의 합계 중 하나가 0이면 분모를 임의로 1로 설정할 수 있습니다. 이로 인해 Matthews 상관 계수가 0이되고 올바른 제한 값으로 표시 될 수 있습니다.

— 팀
소스

14

예, 동일합니다. Matthews 상관 계수는 Pearson 상관 계수를 혼동 테이블에 적용한 것입니다.

우발 사태 테이블은 기본 데이터의 요약 일뿐입니다. 우발성 표에 표시된 계수에서 관측치 당 한 행으로 다시 변환 할 수 있습니다.

위키피디아 기사 에서 사용 된 5 개의 참 긍정, 17 개의 참 긍정, 2 개의 거짓 긍정 및 3 개의 거짓 부정이있는 혼동 행렬의 예를 고려하십시오.

> matrix(c(5,3,2,17), nrow=2, byrow=TRUE)
     [,1] [,2]
[1,]    5    3
[2,]    2   17
> 
> # Matthews correlation coefficient directly from the Wikipedia formula
> (5*17-3*2) / sqrt((5+3)*(5+2)*(17+3)*(17+2))
[1] 0.5415534
> 
> 
> # Convert this into a long form binary variable and find the correlation coefficient
> conf.m <- data.frame(
+ X1=rep(c(0,1,0,1), c(5,3,2,17)),
+ X2=rep(c(0,0,1,1), c(5,3,2,17)))
> conf.m # what does that look like?
   X1 X2
1   0  0
2   0  0
3   0  0
4   0  0
5   0  0
6   1  0
7   1  0
8   1  0
9   0  1
10  0  1
11  1  1
12  1  1
13  1  1
14  1  1
15  1  1
16  1  1
17  1  1
18  1  1
19  1  1
20  1  1
21  1  1
22  1  1
23  1  1
24  1  1
25  1  1
26  1  1
27  1  1
> cor(conf.m)
          X1        X2
X1 1.0000000 0.5415534
X2 0.5415534 1.0000000

— 피터 엘리스
소스

고마워, 피터! 수학적으로 왜 phi와 Mathew가 두 개의 이진 랜덤 변수에 대해 Pearson과 동등합니까?

— Tim

Pearson 상관 관계의 정의를 가져 와서 개별 관측 값과 평균의 차이를 합산하기보다는 카운트를 참조하도록 조작하면 Matthews 공식을 얻게됩니다. 나는 실제로 이것을하지 않았지만 합리적으로 간단해야합니다.

— 피터 엘리스

2

첫째, 질문에 오타 오류가 있습니다. 는 아니라 오히려 $\mathbb{E}[xy]$ $\displaystyle \frac{n_{\bullet 1}n_{1\bullet}}{n^2}$

\frac{n_{11}}{n} \times 1 \times 1 + \frac{n_{10}}{n} \times 1 \times 0 + \frac{n_{01}}{n} \times 0 \times 1 + \frac{n_{00}}{n} \times 0 \times 0 = \frac{n_{11}}{n}

$\frac{n_{11}}{n} \times 1 \times 1 + \frac{n_{10}}{n}\times 1 \times 0 + \frac{n_{01}}{n} \times 0 \times 1 + \frac{n_{00}}{n} \times 0 \times 0 = \frac{n_{11}}{n}$

둘째, 임을 보여주는 열쇠 는 $\rho = \phi$

n_{11} n - n_{1 ∙} n_{∙ 1} = n_{11} (n_{01} + n_{10} + n_{11} + n_{00}) - (n_{11} + n_{10}) (n_{11} + n_{01}) = n_{11} n_{00} - n_{10} n_{01}

$n_{11} n - n_{1\bullet} n_{\bullet 1} = n_{11} (n_{01} + n_{10} + n_{11} + n_{00}) - (n_{11} + n_{10}) (n_{11} + n_{01}) \\ = n_{11} n_{00} - n_{10} n_{01}$

— 라이언 tt
소스