두 개의 독립적 인 랜덤 변수의 곱

약 1000 값의 샘플이 있습니다. 이 데이터는 두 개의 독립적 인 랜덤 변수 의 곱에서 얻습니다 . 첫 번째 랜덤 변수는 균일 분포 입니다. 두 번째 랜덤 변수의 분포는 알려져 있지 않습니다. 두 번째 ( ) 랜덤 변수 의 분포를 어떻게 추정 할 수 있습니까? $\xi \ast \psi$ $\xi \sim U(0,1)$ $\psi$

probability distributions mathematical-statistics

— 앤디
소스

이것은 deconvolution 문제의 버전입니다. 제품의 로그로 이동하면 항 중 하나의 분포를 알 때 합계의 추정 분포가 나타납니다. Wikipedia를 확인하십시오 .

— Xi'an

교차 검증 된 관련 질문 도 참조하십시오 . 일단 로그 변환을 적용하면 문제는 동일합니다.

— Xi'an

@ 시안 : 좋은 링크.

ψ \geq 0

$\psi \geq 0$ 은 거의 확실합니다 ...하지만

로 분해

ψ = ψ_{+} - ψ_{-}

$\psi = \psi_{+} - \psi_{-}$ 하고 조각을 개별적으로 고려 하여이 조건에 대한 치명적인 위반으로부터 회복 할 수 있기를 바랍니다 .

— 추기경

@cardinal 데이터 중 일부가 부정적 일 때 추정 문제가 어떻게 처리되는지 궁금합니다. 분해는 어떻게 결정됩니까? ( 지수와의 컨볼 루션이 구성 요소의 값을 비교적 큰 양의 관측치 로 바꾸는 경향이 있기 때문에 하나의 구성 요소에 미만의 데이터를 할당 하고 보다 큰 데이터를 다른 구성 요소 에 할당하는 직관적 인 방법은 나에게 최적이 아닙니다 . ) 추정기가 동시에 혼합물과 디컨 볼 루션의 식별을 처리해야하는 것처럼 보이며, 이는 까다로워 보입니다.

1

$1$

1

$1$

ψ_{-}

$\psi_{-}$

— whuber

설명에 대한 @ Cardinal 감사합니다. 아니요, 소음이 아닙니다. 대수 관점에서 생각했기 때문에 가 음수가 아니라는 것을 잊어 버렸습니다 .

ξ

$\xi$

— whuber

우리는 가 양의 실수 선인 를 지원 한다고 가정합니다. 여기서 및 은 데이터의 경험적 분포입니다. 우리가 얻는이 방정식의 로그를 취하면 $\psi$

ξ ψ = X

$\xi \,\psi = X$

X \sim F_{n}

$X \sim F_n$

F_{n}

$F_n$

L o g (ξ) + L o g (ψ) = L o g (X)

$Log(\xi) + Log(\psi) = Log(X)$

따라서 Levy의 연속성 정리와 및 독립성으로 특징적인 기능을 수행합니다. $\xi$ $\psi$

Ψ_{L o g (ξ)} (t) Ψ_{L o g (ψ)} (t) = Ψ_{L o g (X)}

$\Psi_{Log(\xi)}(t)\Psi_{Log(\psi)}(t) = \Psi_{Log(X)}$

이제 따라서 $\xi\sim Unif[0,1]$ $, therefore$ $-Log(\xi) \sim Exp(1)$

Ψ_{L o g (ξ)} (- t) = {(1 + i t)}^{- 1}

$\Psi_{Log(\xi)}(-t)= \left(1 + it\right)^{-1}\,$

주어진 와 의 무작위 샘플 . $\Psi_{ln(X)} =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(itX_k) ,$ $X_1 ... X_{1000}$ $\ln(X)$

이제 고유 한 기능을 통해 분포를 완전히 지정할 수 있습니다 . $Log(\psi)$

{(1 + i t)}^{- 1} Ψ_{L o g (ψ)} (t) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{1000} \exp (i t X_{k})

$\left(1 + it\right)^{-1}\,\Psi_{Log(\psi)}(t) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(itX_k)$

의 모멘트 생성 함수가 존재하고 이라고 가정하면 모멘트 생성 함수의 용어로 위의 방정식을 쓸 수 있습니다. $\ln(\psi)$ $t<1$

M_{L o g (ψ)} (t) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{1000} \exp (- t X_{k}) (1 - t)

$M_{Log(\psi)}(t) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(-t\,X_k)\,\left(1 - t\right)\,$

이 분포 얻을 모멘트 생성 함수 반전 후 충분히 그와 이에 $ln(\phi)$ $\phi$

— 매니 폴드
소스

R의 예제로 이것을 설명 할 수 있습니까?

— Andy

물론이야. 내일 게시하려고합니다.

— Drmanifold