정현파 항을 데이터에 적합

이 게시물을 읽었지만 여전히 내 데이터에 어떻게 적용하고 누군가 나를 도울 수 있기를 바랍니다.

다음과 같은 데이터가 있습니다.

y <- c(11.622967, 12.006081, 11.760928, 12.246830, 12.052126, 12.346154, 12.039262, 12.362163, 12.009269, 11.260743, 10.950483, 10.522091,  9.346292,  7.014578,  6.981853,  7.197708,  7.035624,  6.785289, 7.134426,  8.338514,  8.723832, 10.276473, 10.602792, 11.031908, 11.364901, 11.687638, 11.947783, 12.228909, 11.918379, 12.343574, 12.046851, 12.316508, 12.147746, 12.136446, 11.744371,  8.317413, 8.790837, 10.139807,  7.019035,  7.541484,  7.199672,  9.090377,  7.532161,  8.156842,  9.329572, 9.991522, 10.036448, 10.797905)
t <- 18:65

이제는 사인파를 맞추고 싶습니다

$$y(t)=A\cdot sin(\omega t+\phi) +C.$$

네 개의 미지수 , , 및 가 있습니다.$A$ϕ $\omega$$\phi$$C$

내 코드의 나머지 부분은 다음과 같습니다.

res <- nls(y ~ A*sin(omega*t+phi)+C, data=data.frame(t,y), start=list(A=1,omega=1,phi=1,C=1))
co <- coef(res)

fit <- function(x, a, b, c, d) {a*sin(b*x+c)+d}

# Plot result
plot(x=t, y=y)
curve(fit(x, a=co["A"], b=co["omega"], c=co["phi"], d=co["C"]), add=TRUE ,lwd=2, col="steelblue")

그러나 결과는 정말 좋지 않습니다.

도움을 주시면 대단히 감사하겠습니다.

건배.

의 좋은 추정치를 원 하고 표준 오류에별로 신경 쓰지 않는다면 :$\omega$

ssp <- spectrum(y)  
per <- 1/ssp$freq[ssp$spec==max(ssp$spec)]
reslm <- lm(y ~ sin(2*pi/per*t)+cos(2*pi/per*t))
summary(reslm)

rg <- diff(range(y))
plot(y~t,ylim=c(min(y)-0.1*rg,max(y)+0.1*rg))
lines(fitted(reslm)~t,col=4,lty=2)   # dashed blue line is sin fit

# including 2nd harmonic really improves the fit
reslm2 <- lm(y ~ sin(2*pi/per*t)+cos(2*pi/per*t)+sin(4*pi/per*t)+cos(4*pi/per*t))
summary(reslm2)
lines(fitted(reslm2)~t,col=3)    # solid green line is periodic with second harmonic

(더 나은 적합은 아마도 그 시리즈의 특이점을 어떤 식 으로든 설명하여 영향을 줄입니다.)

---

의 불확실성에 대한 아이디어를 원한다면 프로파일 가능성을 사용할 수 있습니다 ( pdf1 , pdf2- 프로파일 가능성에서 근사한 CI 또는 SE를 얻거나 그 변형을 찾기가 어렵습니다)$\omega$

(또는,이 추정값을 nls에 공급하고 이미 수렴하기 시작할 수 있습니다.)

@Stefan이 제안했듯이 다른 시작 값은 적합을 크게 향상시키는 것으로 보입니다. 데이터가 눈에 띄었다. 오메가는 약 이어야한다고 제안했다 . 피크는 약 20 단위 떨어져있는 것처럼 보였기 때문이다.$2 \pi / 20$

나는에 그것을 넣어 때 nls의 start목록은 여전히 체계적인 편견을 가지고 있지만, 나는 훨씬 더 합리적이었다 곡선을 얻었다.

이 데이터 세트의 목표에 따라 용어를 추가하거나 주기적 커널을 사용하는 가우시안 프로세스와 같은 비모수 적 접근 방식을 사용하여 적합도를 향상시킬 수 있습니다.

시작 값을 자동으로 선택

지배적 인 주파수를 선택하려면 빠른 푸리에 변환 (FFT)을 사용할 수 있습니다. 이것은 내 전문 분야를 벗어난 방법이므로 다른 사람들이 원하는 경우 (특히 2 단계 및 3 단계) 세부 정보를 작성하도록하지만 R아래 코드는 작동합니다.

# Step 1: do the FFT
raw.fft = fft(y)

# Step 2: drop anything past the N/2 - 1th element.
# This has something to do with the Nyquist-shannon limit, I believe
# (https://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem)
truncated.fft = raw.fft[seq(1, length(y)/2 - 1)]

# Step 3: drop the first element. It doesn't contain frequency information.
truncated.fft[1] = 0

# Step 4: the importance of each frequency corresponds to the absolute value of the FFT.
# The 2, pi, and length(y) ensure that omega is on the correct scale relative to t.
# Here, I set omega based on the largest value using which.max().
omega = which.max(abs(truncated.fft)) * 2 * pi / length(y)

abs(truncated.fft)다른 중요한 주파수가 있는지 확인하기 위해 플롯 할 수도 있지만 x 축의 스케일링을 약간 조정해야합니다.

또한 @Glen_b는 오메가를 알고 나면 문제가 볼록한 것이 맞습니다 (또는 아마도 파이도 알아야합니까? 확실하지 않습니다). 어쨌든, 다른 매개 변수의 시작 값을 아는 것이 올바른 야구장에 있다면 오메가만큼 중요하지 않아야합니다. FFT에서 다른 매개 변수에 대한 적절한 추정치를 얻을 수는 있지만 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.

이미 말한 것에 대한 대안으로, ARIMA 모델 클래스의 AR (2) 모델을 사용하여 사인파 패턴으로 예측을 생성 할 수 있습니다.

AR (2) 모델은 다음과 같이 작성할 수 있습니다. 여기서 는 상수이고 , 는 추정 할 모수이고 는 임의의 충격 항입니다. C ϕ 1 ϕ 2 a

$$\begin{equation} y_{t} = C + \phi_{1}y_{t-1} + \phi_{2}y_{t-2} + a_{t} \end{equation}$$ $C$$\phi_{1}$$\phi_{2}$$a_{t}$

이제 모든 AR (2) 모델 이 예측에서 사인파 패턴 ( 스토캐스틱 사이클 이라고도 함)을 생성 하는 것은 아니지만 다음 조건이 충족되면 발생합니다.

$$\begin{equation} \phi_{1}^{2} + 4 \phi_{2} < 0. \end{equation}$$

Panratz (1991)는 확률 론적 순환에 대해 다음과 같이 알려줍니다.

확률 론적 사이클 패턴은 예측 패턴에서 왜곡 된 사인파 패턴으로 생각할 수 있습니다. 확률 론적 (확률 적) 기간, 진폭 및 위상 각을 갖는 사인파입니다.

그러한 모델이 데이터에 적합 할 수 auto.arima()있는지 확인하기 위해 예측 패키지 의 함수를 사용하여 AR (2) 모델을 제안하는지 알아 냈습니다. 이 auto.arima()함수는 ARMA (2,2) 모델을 제안합니다. 순수한 AR (2) 모델은 아니지만 괜찮습니다. ARMA (2,2) 모델에 AR (2) 구성 요소가 포함되어있어 동일한 규칙 (확률 론적 사이클에 대한)이 적용되므로 문제가 없습니다. 즉, 사인파 예측이 생성되는지 확인하기 위해 위에서 언급 한 조건을 여전히 확인할 수 있습니다.

결과는 auto.arima(y)아래와 같습니다.

Series: y 
ARIMA(2,0,2) with non-zero mean 

Coefficients:
         ar1      ar2      ma1     ma2  intercept
      1.7347  -0.8324  -1.2474  0.6918    10.2727
s.e.  0.1078   0.0981   0.1167  0.1911     0.5324

sigma^2 estimated as 0.6756:  log likelihood=-60.14
AIC=132.27   AICc=134.32   BIC=143.5

이제 조건을 점검해 봅시다 : 그리고 조건이 실제로 만족 스럽다는 것을 알았습니다.

$$\begin{equation} \phi_{1}^{2} + 4 \phi_{2} < 0\\ 1.7347^{2} + 4 (-0.8324) < 0 \\ -0.3202914 < 0 \end{equation}$$

아래 그림은 원래 시리즈 y, ARMA (2,2) 모형의 적합도 및 14 개의 표본 외부 예측을 보여줍니다. 보다시피, 샘플 외부 예측은 사인파 패턴을 따릅니다.

두 가지를 명심하십시오. 1) 이것은 자동화 된 도구를 사용하는 매우 빠른 분석이며 Box-Jenkins 방법론을 따르는 적절한 처리가 필요합니다. 2) ARIMA 예측은 단기 예측에 적합하므로 @David J. Harris 및 @Glen_b의 답변에서 모델의 장기 예측이 더 신뢰할 수 있음을 알 수 있습니다.

마지막으로, 이것은 이미 매우 유익한 답변에 좋은 추가 사항이되기를 바랍니다.

참조 : 동적 회귀 모형을 사용한 예측 : Alan Pankratz, 1991, (John Wiley and Sons, New York), ISBN 0-471-61528-5

sin 곡선을 주어진 데이터 세트에 맞추기위한 현재의 방법은 매개 변수의 첫 번째 추측이 필요하며 그 다음에 상호 적 과정이 필요합니다. 이것은 비선형 회귀 문제입니다. 편리한 적분 방정식 덕분에 비선형 회귀를 선형 회귀로 변환하는 다른 방법이 있습니다. 그런 다음, 초기 추측 및 반복 프로세스가 필요하지 않습니다. 피팅이 직접 확보됩니다. 기능 y = a + r * sin (w * x + phi) 또는 y = a + b * sin (w * x) + c * cos (w * x) 인 경우 용지 35-36 페이지를 참조하십시오. Scribd에 게시 된 "Régression sinusoidale": http://www.scribd.com/JJacquelin/documents 함수 y = a + p * x + r * sin (w * x + phi) 인 경우 : "혼합 선형 및 정현파 회귀"장의 49-51 페이지. 더 복잡한 함수의 경우 일반 프로세스는 54-61 페이지의 "일반화 된 정현파 회귀"장에 설명되어 있으며 숫자 예제는 y = r * sin (w * x + phi) + (b / x) + c입니다. * ln (x), 62-63 페이지

코사인 모양 데이터의 가장 낮은 점과 가장 높은 점을 알고있는 경우이 간단한 함수를 사용하여 모든 코사인 계수를 계산할 수 있습니다.

getMyCosine <- function(lowest_point=c(pi,-1), highest_point=c(0,1)){
  cosine <- list(
    T = pi / abs(highest_point[1] - lowest_point[1]),
    b = - highest_point[1],
    k = (highest_point[2] + lowest_point[2]) / 2,
    A = (highest_point[2] - lowest_point[2]) / 2
  )
  return(cosine)
}

아래는 가장 낮고 가장 따뜻한 시간에 대한 시간과 온도 값을 입력하여 코사인 함수로 하루 종일 온도 변화를 시뮬레이션하는 데 사용됩니다.

c <- getMyCosine(c(4,10),c(17,25)) 
# lowest temprature at 4:00 (10 degrees), highest at 17:00 (25 degrees)

x = seq(0,23,by=1);  y = c$A*cos(c$T*(x +c$b))+c$k ; 
library(ggplot2);   qplot(x,y,geom="step")

출력은 다음과 같습니다.

다른 옵션은 일반 함수 optim 또는 nls를 사용하는 것입니다. 나는 두 가지 모두를 시도했지만 완전히 견고하지는 않았다.

다음 함수는 y의 데이터를 가져 와서 매개 변수를 계산합니다.

calc.period <- function(y,t)
{     
   fs <- 1/(t[2]-t[1])
   ssp <- spectrum(y,plot=FALSE )  
   fN <- ssp$freq[which.max(ssp$spec)]
   per <- 1/(fN*fs)
   return(per)
 }

fit.sine<- function(y, t)
{ 
  data <- data.frame(x = as.vector(t), y=as.vector(y))
  min.RSS <- function (data, par){
    with(data, sum((par[1]*sin(2*pi*par[2]*x + par[3])+par[4]-y )^2))
  }  
  amp = sd(data$y)*2.**0.5
  offset = mean(data$y)
  fest <- 1/calc.period(y,t)
  guess = c( amp, fest,  0,   offset)
  #res <- optim(par=guess, fn = min.RSS, data=data ) 
  r<-nls(y~offset+A*sin(2*pi*f*t+phi), 
     start=list(A=amp, f=fest, phi=0, offset=offset))
  res <- list(par=as.vector(r$m$getPars()))
  return(res)
}

 genSine <- function(t, params)
     return( params[1]*sin(2*pi*params[2]*t+ params[3])+params[4])

사용은 다음과 같습니다.

t <- seq(0, 10, by = 0.01)
A <- 2 
f <- 1.5
phase <- 0.2432
offset <- -2

y <- A*sin(2*pi*f*t +phase)+offset + rnorm(length(t), mean=0, sd=0.2)

reslm1 <- fit.sine(y = y, t= t)

다음 코드는 데이터를 비교합니다

ysin <- genSine(as.vector(t), params=reslm1$par)
ysin.cor <- genSine(as.vector(t), params=c(A, f, phase, offset))

plot(t, y)
lines(t, ysin, col=2)
lines(t, ysin.cor, col=3)