에 균일 분포를위한 유클리드 표준의 꼬리 경계

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의 균일하게 선택된 요소의 유클리드 표준이 얼마나 자주 상한이라고 알려져 있습니까 $\:\{-n,~-(n-1),~...,~n-1,~n\}^d\:$ 주어진 임계 값보다 큽니까?

나는 $n$ 이 보다 훨씬 작을 때 지수 적으로 0으로 수렴하는 경계에 주로 관심이 $d$ 있습니다.

uniform extreme-value bounds

— 리키 데머
소스

이 임계 값에 대한 답변을 용이

t \leq n

$t\le n$ 하지만 밖으로 일을 더 어렵게 - 코너에 서서 바이올린 켜면서 바로 hyperspheres의 볼륨을 계산

t > n

$t \gt n$ . 두 상황 중 하나에 있습니까?

— whuber

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나는

t > n

$\: t > n \;\;$ .

$\;\;\;\;$

— Ricky Demer 2016 년

1

나는 지금 자세한 답변을 게시 할 시간이 없지만 그 동안 힌트가 있습니다 :

\sum_{k} (X_{k} / n)^{2}

$\sum_k (X_k/n)^2$ 를 표준 Chernoff 바운드 기술을 사용하는 동일한 평균을 가진 이항 랜덤 변수와 비교하십시오. 이 양보하는 형태의 결합

a^{d} e^{- b t^{2}}

$a^d e^{-b t^2}$ 적절한위한 와

제공

당신이 어떤 평균을 생각하면 의미가 있습니다 제곱 유클리드 거리는 희망이 도움이됩니다.

a

$a$

b

$b$

t > n \sqrt{d (n + 1) / 3 n}

$t > n \sqrt{d (n+1)/3n}$

— 추기경

1

직관적으로, 균일 분포에서 무작위로 좌표가 샘플링되는 점은 차원의 저주로 인해 작은 계수를 가져야합니다. 마찬가지로 가 증가함에 따라, 부피로부터 랜덤 샘플링 포인트 확률 차원 부 공보다 작은 거리를거나 같은 것 중심으로부터는 지수 빨리 떨어진다. $d$ $d$ $\epsilon$ $\epsilon^{d}$

추기경 솔루션의 정식 버전을 제공하겠습니다.

하자 별개의 독립 한 복사 정수 위에 균일하게 분포 될 . 분명히, , 그리고이되어 쉽게 계산 하는 $X_i$ $-n \leqslant k \leqslant n$ $\mathbb{E}[X] = 0$ $\text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

호출이 하고 $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + \mathbb{E}[X_i]^2$ $\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2$

따라서 $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2 = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 1)}{15} - \left( \frac{n(n+1)}{3} \right)^2$

$\mathbb{E}[X_i^4]$ 계산

하자 $Y_i = X_i^2$

\sum_{나는 = 1}^{디} {와이}_{나는} = (무작위로 샘플링 된 점 대 원점의 거리)^{2}

$\sum_{i=1}^d Y_i = (\text{Distance of Randomly Sampled Point to Origin})^2$

내일이 작업을 마치겠습니다. 그러나이 변수의 평균은 이며, 미만의 소수는 최대 거리의 절반 미만입니다. $\frac{n^2}{3}$ $2^{-d}$ $\frac{dn^2}{2}$

— 마이클 케이
소스

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모든 경우 독립 분리를 통해 유니폼에 따라 , 다음 있기 때문에 에서 선택할 수있는 값과 그 의미는 우리 모두가, 0 : $X_i$ $[-n, n]$ $2n+1$ $i$

$\mathbb{E}(X_i)= 0$ 이고

$\mathbb{V}(X_i)= \mathbb{E}\left((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2\right)= \mathbb{E}(X_i^2)= \frac{(2n+1)^2 - 1}{12}= \frac{n(n+1)}{3}$

그런 경우 벡터의 제곱 유클리드 규범 , 때문에의 독립의 : $S$ $(X_1, X_2, ... X_d)$ $X_i$

$S= \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S)= \sum_{i=1}^d \mathbb{E}(X_i^2) = d \frac{n(n+1)}{3}$

여기에서 Markov의 부등식을 사용할 수 있습니다 : $\forall a >0, \mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{1}{a}\mathbb{E}(S)$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{d}{a}\frac{n(n+1)}{3}$

이 결합한 상승 때 정상 때문에, 고정 된 임계치와 비교하여 유클리드 놈이 커지면 커질수록 . $d$ $d$ $a$

이제 를 "정규화 된"제곱 규범으로 정의하면 (큰 관계없이 동일한 예상 값을 가짐 ) $S^*$ $d$

$S^*= \frac{1}{d} Y = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S^*) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{n(n+1)}{3a}$

적어도이 한계는 와 함께 상승하지 않지만 지수 적으로 감소하는 한계에 대한 귀하의 탐구를 여전히 해결 하지 못합니다 ! 이것이 마르코프 불평등의 약점으로 인한 것인지 궁금합니다. $d$

나는 당신이 당신의 벡터의 평균 유클리드 규범 위에서 언급 한 바와 같이 선형 적으로 상승하기 때문에, 정확한 질문을해야한다고 생각 , 그래서 당신은 상위 행 찾기가 매우 어렵다 에서 감소되는 고정 임계 값 . $d$ $\mathbb{P}(S > a)$ $d$ $a$

— 쥬보
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