알려진 중단 점을 사용하여 구간 별 선형 회귀에서 기울기의 표준 오차

그 상황

하나의 종속 데이터 세트가 있습니다 $y$ 그리고 하나의 독립 변수 $x$. 나는 연속적인 부분 선형 회귀에 적합하고 싶다.$k$ 알려진 / 고정 된 브레이크 포인트 $(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k})$. 브레이크 포인은 불확실성이없는 것으로 알려져 있으므로 추정하고 싶지 않습니다. 그런 다음 양식의 회귀 (OLS)에 적합합니다.

$$y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1}x_{i} + \beta_{2}\operatorname{max}(x_{i}-a_{1},0) + \beta_{3}\operatorname{max}(x_{i}-a_{2},0) +\ldots+ \beta_{k+1}\operatorname{max}(x_{i}-a_{k},0) +\epsilon_{i}$$ 여기에 예가 있습니다 R

set.seed(123)
x <- c(1:10, 13:22)
y <- numeric(20)
y[1:10] <- 20:11 + rnorm(10, 0, 1.5)
y[11:20] <- seq(11, 15, len=10) + rnorm(10, 0, 2)

중단 점이 있다고 가정 해 봅시다 $k_1$ ~에서 발생하다 $9.6$:

mod <- lm(y~x+I(pmax(x-9.6, 0)))
summary(mod)

Coefficients:
                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)          21.7057     1.1726  18.511 1.06e-12 ***
x                    -1.1003     0.1788  -6.155 1.06e-05 ***
I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

두 세그먼트의 절편과 기울기는 다음과 같습니다. $21.7$ 과 $-1.1$ 첫 번째와 $8.5$ 과 $0.27$ 두 번째.

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질문

1. 각 세그먼트의 절편과 기울기를 쉽게 계산하는 방법은 무엇입니까? 한 번의 계산으로 모델을 재분석 할 수 있습니까?
2. 각 세그먼트의 각 기울기의 표준 오차를 계산하는 방법은 무엇입니까?
3. 인접한 두 경사가 동일한 경사를 갖는지 테스트하는 방법 (즉, 중단 점을 생략 할 수 있는지)?

1. 각 세그먼트의 절편과 기울기를 쉽게 계산하는 방법은 무엇입니까?

각 세그먼트의 기울기는 모든 계수를 현재 위치까지 간단히 추가하여 계산됩니다. 따라서 경사 추정치$x=15$ 이다 $-1.1003 + 1.3760 = 0.2757\,$.

절편은 조금 더 어렵지만 계수의 선형 조합입니다 (매듭 포함).

귀하의 예에서 두 번째 줄은 첫 번째 줄을 $x=9.6$빨간색 점은 첫 번째 줄에 있습니다. $21.7057 -1.1003 \times 9.6 = 11.1428$. 두 번째 선이 점을 통과하기 때문에$(9.6, 11.428)$ 경사로 $0.2757$가로 채기 $11.1428 - 0.2757 \times 9.6 = 8.496$. 물론, 당신은 그 단계들을 합칠 수 있고 그것은 두 번째 세그먼트에 대한 절편으로 바로 단순화됩니다 =$\beta_0 - \beta_2 k_1 = 21.7057 - 1.3760 \times 9.6$.

한 번의 계산으로 모델을 다시 매개 변수화 할 수 있습니까?

글쎄, 그러나 일반적으로 모델에서 계산하는 것이 더 쉽습니다.

2. 각 세그먼트의 각 기울기의 표준 오차를 계산하는 방법은 무엇입니까?

추정치는 회귀 계수의 선형 조합이므로 $a^\top\hat\beta$, 어디 $a$ 1과 0으로 구성되며 분산은 $a^\top\text{Var}(\hat\beta)a$. 표준 오차는 분산과 공분산 항의 합의 제곱근입니다.

예를 들어 귀하의 예에서 두 번째 세그먼트 경사의 표준 오차는 다음과 같습니다.

Sb <- vcov(mod)[2:3,2:3]
sqrt(sum(Sb))

대안 적으로 매트릭스 형태로 :

Sb <- vcov(mod)
a <- matrix(c(0,1,1),nr=3)
sqrt(t(a) %*% Sb %*% a)

3. 인접한 두 경사가 동일한 경사를 갖는지 테스트하는 방법 (즉, 중단 점이 생략 될 수 있는지)

이것은 해당 세그먼트의 표에서 계수를 보면 테스트됩니다. 이 줄을보십시오 :

I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***

이것이 9.6의 경사 변화입니다 . 그 변화가 0과 다르면 두 경사가 동일하지 않습니다. 따라서 두 번째 세그먼트가 첫 번째와 같은 기울기를 갖는 검정의 p- 값은 해당 선의 끝에서 오른쪽입니다.

질문 1에 대한 나의 순진한 접근 방식 :

mod2 <- lm(y~I((x<9.6)*x)+as.numeric((x<9.6))+
             I((x>=9.6)*x)+as.numeric((x>=9.6))-1)
summary(mod2)

#                        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
# I((x < 9.6) * x)        -1.1040     0.2328  -4.743 0.000221 ***
# as.numeric((x < 9.6))   21.7188     1.3099  16.580 1.69e-11 ***
# I((x >= 9.6) * x)        0.2731     0.1560   1.751 0.099144 .  
# as.numeric((x >= 9.6))   8.5442     2.6790   3.189 0.005704 ** 

그러나이 방법으로 통계 (특히 자유도)가 올바르게 수행되는지 확실하지 않습니다.