특정 대조 테스트 : 이것은 어려운 문제일까요?

나는 이것을 mathoverflow에 게시했지만 아무도 대답하지 않았다.

통계적으로 유의 한 대비를 식별하는 Scheffé의 방법 은 널리 알려져 있습니다. 대조 수단 중 , 의 인구 선형 조합 에있는 , 그리고 대비의 스칼라 배수는 본질적으로 동일한 대비이므로, 대비 세트가 투영 공간이라고 말할 수 있습니다. Scheffé의 방법 은 이러한 모집단 간의 모든 대비 가 이고 유의 수준 주어지면 확률 귀무 가설을 기각한다는 귀무 가설을 검정합니다. $\mu_i$ $i=1,\ldots,r$ $r$ $\sum_{i=1}^r c_i \mu_i$ $\sum_{i=1}^r c_i=0$ $r$ $0$ $\alpha$ $\alpha$ 귀무 가설이 참이라는 것을 감안할 때. 그리고 귀무 가설이 기각되면 Scheffé는 그의 테스트에서 어떤 대비가 과 크게 다른지 알려줍니다. (Wikipedia 기사가 그 점과 관련이 있는지 확실하지 않습니다). $0$

다른 상황에서 비슷한 일을 할 수 있는지 알고 싶습니다. 간단한 선형 회귀 모델 . 여기서 , 입니다. $Y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$ $\varepsilon_i\sim\operatorname{i.i.d.}N(0,\sigma^2)$ $i=1,\ldots,n$

고려하고 싶은 귀무 가설은 다른 종류의 대비에 관한 것입니다. 이는 아무 서브셋 없다라고 같은 그 대한 및 대 , 여기서 입니다. 만약 부분 집합 가 미리 지정된다면, 일반적인 2- 표본 은 그것을 수행하지만, 우리는 모든 부분 집합을 고려하고 실제 귀무 가설을 기각 할 확률을 억제하는 것을 원합니다. $A\subseteq\lbrace 1,\ldots,n\rbrace$ $E(Y_i) = \alpha_1 + \beta x_i$ $i\in A$ $E(Y_i) = \alpha_2 + \beta x_i$ $i\not\in A$ $\alpha_1\ne\alpha_2$ $A$ $t$

효율성이 중요하지 않은 경우이를 파악할 수 있습니다. 모든 가능성을 통과하는 테스트를 찾으십시오 . 그럼에도 불구하고 문제가 있습니다. 두 개의 대조는 독립적이지 않을 것입니다. 나는 이것에 대해 이상치 탐지에 대해 전문가에게 물었고 그는 단지 그것이 악의적 인 악몽이라고 말했다. 그런 다음 NP 하드 문제를 줄임으로써 효율적인 방법이 없다는 것을 증명할 수 있는지 물었 습니다. 그는 단지 NP-hard 문제에서 멀리 떨어져 있다고 말했다. $2^{n-1}-1$

그래서 :이 문제가 "단단하다"거나 그렇지 않다는 것을 증명할 수 있습니까?

— 마이클 하디
소스

(1) 상기에서 설명에 대한 코멘트 복사 MO 버전 : 설명의 그냥 작은 점 :만큼 내가 그것을 읽고, 귀무 가설 아래의 자격을, 그러나 및 은 ( 관계없이 하지 않습니다 . 그게 당신이 의도 한 것입니까? (질문에서 제기 된 다른 암시 들과는 일치하지 않는 것 같습니다.)

(α_{1}, α_{2}, α_{3}) = (1, 2, 3)

$(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (1,2,3)$

(1, 2, 2)

$(1,2,2)$

(1, 1, 1)

$(1,1,1)$

β

$\beta$

— 추기경

위에서 언급했듯이 귀무 가설은 하나의 만 필요하다는 것이고 , 대립 가설은 두 개가 필요하다는 것입니다. 왜 세 번째가 있는지 모르겠습니다. 또한 하나의 에 대한 귀무 가설과 여러 개의 대립 가설을 고려할 수 있으며 , 대신 내가 대신해야 할 것입니다.

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— Michael Hardy

감사. 아마 나는 같은 모델의 원래 문에 의해 던져진 내가했다, 에 대한 잠재적 인 오타로 (이 연속적으로 변화시키고 있기 때문에).

Y_{i} = α + β x_{i} + ε_{i}

$Y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$

α

$\alpha$

α_{i}

$\alpha_i$

— 추기경

글쎄, 그 가 의존 한다면 그것은 과도하게 매개 변수화 된 모델 일 것이고, 일반적으로 "단순 선형 회귀 모델"이라고 부르는 것과는 다릅니다.

α

$\alpha$

i

$i$

— Michael Hardy

지금까지 아무도이 질문에 답하지 않았습니다 ...

기본적으로 문제는 이것 입니다 가 보다 (더 크게) 더 잘 맞는 0-1 벡터 가 있습니까? "상당히 더 나은"은 불평등으로 제곱합으로 볼 수 있습니다. 문제는 불평등 대한 0-1 해가 있는지의 여부가됩니다 이는 NP-hard로 알려진 set partitioning 문제의 변형입니다. $Z$

y_{i} = α + β x_{i} + γ z_{i} + ϵ_{i}

$y_i = \alpha + \beta x_i + \gamma z_i + \epsilon_i$

y_{i} = α + β x_{i} + ϵ_{i} .

$y_i = \alpha + \beta x_i + \epsilon_i.$

f (z) \geq t .

$f(z) \ge t.$

— 사용자 3697176
소스

파티션 설정 문제를 실제로이 문제로 줄일 수 있습니까? 그렇다면, 이것이 어려운 문제임을 증명할 것입니다.

${}\qquad{}$

— Michael Hardy

이 문제는 최소한 기존 SPP (Set Partitioning Problem)만큼 어렵습니다. SPP는 가중치의 선형 조합을 취하여 0에 해당하는 식을 얻기 위해 +/- 1을 곱하려고합니다. 여기서 불평등을 만족 시키려고합니다. 임의 입력에 대해 다항식 시간으로 해결할 수있는 경우 이항 인수는 SPP를 다항식 시간으로 해결할 수도 있음을 보여줍니다. 정확히 줄어드는 것은 아니지만 가깝습니다.

— user3697176