역 분산 가중치에 대한 질문

랜덤 변수 의 관찰되지 않은 실현 에 대해 추론하려고한다고 가정하자. $x$ $\tilde x$ 일반적으로 평균과 분산, $\mu_x$ 그리고 분산 $\sigma^2_x$ . 다른 임의의 변수가 있다고 가정 $\tilde y$ (우리는 관찰되지 않은 실현을 비슷하게 부를 것입니다. $y$ ) 일반적으로 평균으로 분포 $\mu_y$ 그리고 분산 $\sigma^2_y$ . 허락하다 $\sigma_{xy}$ 공분산이다 $\tilde x$ 과 $\tilde y$ .

이제 신호를 관찰한다고 가정 해 봅시다. $x$ ,

\begin{aligned} a = x + \tilde{u}, \end{aligned}

$\begin{align}a=x+\tilde u,\end{align}$ 어디

\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})

$\tilde u\sim\mathcal{N}(0,\phi_x^2)$ 및 신호 켜짐

y

$y$ ,

\begin{aligned} b = y + \tilde{v}, \end{aligned}

$\begin{align}b=y+\tilde v,\end{align}$ 어디

\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})

$\tilde v\sim\mathcal{N}(0,\phi_y^2)$ . 그 가정

\tilde{u}

$\tilde u$ 과

\tilde{v}

$\tilde v$ 독립적입니다.

분포는 무엇입니까 $x$ 조건부 $a$ 과 $b$ ?

내가 지금까지 알고있는 것 : 역 분산 가중치 사용

\begin{aligned} E (x | a) = \frac{\frac{1}{σ_{x}^{2}} μ_{x} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}} a}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}}, \end{aligned}

$\begin{align}\mathbb{E}(x\,|\,a)=\frac{\frac{1}{\sigma_x^2}\mu_x+\frac{1}{\phi_x^2}a}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}},\end{align}$ 과

\begin{aligned} V ar (x | a) = \frac{1}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{V}\text{ar}(x\,|\,a)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}}. \end{align}$

이후 $x$ 과 $y$ 공동으로 그려지고 $b$ 에 대한 정보를 가지고 있어야합니다 $x$ . 이것을 깨닫는 것 외에도 나는 붙어 있습니다. 도움을 주셔서 감사합니다!

meta-analysis

— bad_at_math
소스

이것은 칼만 필터의 파생에 대한 처음 몇 단계와 정확히 같습니다. 파생을보고 주 공분산 추정 업데이트의 칼만 이득에 대해 생각할 수 있습니다. cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf

— EngrStudent

답장을 보내 주셔서 감사합니다! 귀하의 링크에서 문서를 읽었지만 칼만 필터링과 관련이 없습니다. 좀 더 자세히 설명해 주시겠습니까? 도움을 주셔서 감사합니다!

— bad_at_math

@EngrStudent OP가 Kalman 필터에 익숙하지 않다면 어떻게 도움이 될지 모르겠습니다. 아마도 KF와 관련된 특정 사항 (또는 전문 용어)을 호출하지 않고 문제에 접근하는 방법을 대신 설명 할 수는 있지만 여기에서 특정 사항에 대한 응답을 유도하기 위해 KF에 대한 이해를 활용할 수도 있습니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

math.SE에서 크로스는-게시 여기에

— Glen_b -Reinstate 모니카

역 분산 가중 수식이 여기에 적용되는지 확실하지 않습니다. 그러나 조건부 분포를 계산할 수 있다고 생각합니다. $x$ 주어진 $a$ 과 $b$ 그것을 가정함으로써 $x$ , $y$ , $a$ 과 $b$ 공동 다변량 정규 분포를 따릅니다.

특히 (질문에 지정된 내용과 호환 가능) 가정하면

[\begin{matrix} x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{y} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x y} & 0 & 0 \\ σ_{x y} & σ_{y}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ϕ_{x}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ϕ_{y}^{2} \end{matrix}])

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_y \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy} & 0 & 0 \\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi^2_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \phi^2_y \end{matrix}\right] \right) \end{equation}$ 그런 다음

a = x + u

$a=x+u$ 과

b = y + v

$b=y+v$ , 당신은 그것을 찾을 수 있습니다

[\begin{matrix} x \\ a \\ b \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{x} \\ μ_{y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} + ϕ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x y} & σ_{x y} & σ_{y}^{2} + ϕ_{y}^{2} \end{matrix}]) .

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ a \\ b \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_x \\ \mu_y \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma^2_x & \sigma^2_x + \phi^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xy} & \sigma^2_y + \phi^2_y \end{matrix}\right] \right). \end{equation}$ (위에서 그것은 암묵적으로 가정합니다.

u

$u$ 과

v

$v$ 서로 독립적이며 또한

x

$x$ 과

y

$y$ .)

이것에서 당신은 조건부 분포를 찾을 수 있습니다 $x$ 주어진 $a$ 과 $b$ 다변량 정규 분포의 표준 속성을 사용합니다 (예 : http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Conditional_distributions 참조 ).

— a. 아프
소스