두 모수의 곱에 대한 신뢰 구간

과 두 매개 변수가 있다고 가정 해 봅시다 . 또한 두 개의 최대 우도 추정값 및 과 이러한 모수에 대한 두 개의 신뢰 구간이 있습니다. 대한 신뢰 구간을 구축하는 방법이 있습니까? $p_1$ $p_2$ $\hat{p_1}$ $\hat{p_2}$ $p_1p_2$

confidence-interval

— 손님
소스

델타 방법 을 사용하여 $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ 의 표준 오차를 계산할 수 있습니다 . 델타 방법은 함수 $g(t)$ 의 분산의 근사값은 다음과 같이 주어집니다 :

V a r (g (t)) \approx \sum_{i = 1}^{k} g_{i}^{'} (θ)^{2} V a r (t_{i}) + 2 \sum_{i > j} g_{i}^{'} (θ) g_{j}^{'} (θ) C o v (t_{i}, t_{j})

$\mathrm{Var}(g(t))\approx \sum_{i=1}^{k}g'_{i}(\theta)^{2}\mathrm{Var}(t_{i})+2\sum_{i>j}g'_{i}(\theta)g'_{j}(\theta)\mathrm{Cov}(t_{i},t_{j})$ 의 기대의 근사

g (t)

$g(t)$ : 반면에 의해 주어진다

E (g (t)) \approx g (θ)

$\mathrm{\mathbf{E}}(g(t))\approx g(\theta)$ 기대는 단순히 함수입니다. 함수

g (t)

$g(t)$ 는 다음과 같습니다 :

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$ 입니다.

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$ 의 기대치 는 간단히 다음과 같습니다.

p_{1} p_{2}

$p_{1}p_{2}$ . 분산의 경우

g (p_{1}, p_{2})

$g(p_{1}, p_{2})$ 의 부분 미분 값이 필요합니다.

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial p_{1}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial p_{1}}g(p_{1}p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}}g(p_{1}p_{2}) &= p_{1} \\ \end{align}$

위의 분산에 대한 함수를 사용하여 다음을 얻습니다.

V a r (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}) = {\hat{p_{2}}}^{2} V a r (\hat{p_{1}}) + {\hat{p_{1}}}^{2} V a r (\hat{p_{2}}) + 2 \cdot \hat{p_{1}} \hat{p_{2}} C o v (\hat{p_{1}}, \hat{p_{2}})

$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})=\hat{p_{2}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) + \hat{p_{1}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{2}})+2\cdot \hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\mathrm{Cov}(\hat{p_{1}},\hat{p_{2}})$ 표준 오차는 단순히 위 식의 제곱근입니다. 표준 오차가 발생하면

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ 대한 95 % 신뢰 구간을 계산하는 것이 간단합니다 .

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}} \pm 1.96 \cdot \hat{S E} (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}})

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\pm 1.96\cdot \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})$

의 표준 오차를 caluclate하려면 $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ , 당신은의 분산이 필요 $\hat{p_{1}}$ 및 $\hat{p_{2}}$ 는 일반적으로 얻을 수있는 분산 - 공분산 행렬 $\Sigma$ 당신이 있기 때문에 귀하의 경우 2 × 2 매트릭스 것 두 가지 추정치. 분산-공분산 행렬의 대각선 요소는 $\hat{p_{1}}$ 및 $\hat{p_{2}}$ 의 분산 이고, 비 대각선 요소는 $\hat{p_{1}}$ 및 의 공분산입니다. $\hat{p_{2}}$ (행렬은 대칭입니다). 주석에서 @gung이 언급했듯이 분산-공분산 행렬은 대부분의 통계 소프트웨어에 의해 추출 될 수 있습니다. 때로는 추정 알고리즘이 Hessian 행렬을 제공하며 (여기에 대해서는 자세히 설명하지 않겠습니다) 분산 공분산 행렬은 음의 Hessian 의 역수 로 추정 할 수 있습니다 (그러나 로그 가능성을 최대화 한 경우에만!). 이 게시물 ). 다시 한 번, Hessian 추출 방법과 행렬의 역수 계산 방법에 대한 통계 소프트웨어 및 / 또는 웹 설명서를 참조하십시오.

또는 다음과 같은 방식으로 신뢰 구간에서 $\hat{p_{1}}$ 및 $\hat{p_{2}}$ 의 분산을 얻을 수 있습니다 (95 % CI에 유효). $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/3.92$ . 들면 $100(1-\alpha)\%$ : -ci 추정 표준 오차가 $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/(2\cdot z_{1-\alpha/2})$ , 여기서 $z_{1-\alpha/2}$ 는표준 정규 분포의 $(1-\alpha/2)$ 분위수입니다 ( $\alpha=0.05$ , $z_{0.975}\approx 1.96$ ). 그런 다음 $\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) = \mathrm{SE}(\hat{p_{1}})^{2}$ . $\hat{p_{2}}$ 의 분산에 대해서도 마찬가지입니다 . $\hat{p_{1}}$ 과 $\hat{p_{2}}$ 공분산도 필요합니다 (위 단락 참조). 만약 $\hat{p_{1}}$ 과 $\hat{p_{2}}$ , 독립적 인 공분산이 0이고이라는 용어를 삭제할 수있다.

이 백서 는 추가 정보를 제공 할 수 있습니다.

— 시원한
소스

+1. 모수의 분산과 공분산은 대부분의 통계 소프트웨어가 제공 할 수있는

의 분산-공분산 행렬을 조사하여 찾을 수 있습니다 . 예를 들어, R에서, 그것은 vcvc 이고; SAS에서는 &가 PROC REG의 모델 설명에 옵션으로 추가 되었습니다 .

β

$\boldsymbol\beta$ covb

— gung-모니 티 복원

그것의 분산 - 공분산 행렬 정말 것을 가치 (나는 그것이 어떤 사람들에게 혼란을 알고 있기 때문에) 지적 될 수 학자 인 지점에 @gung

보다는

(사실 그것도 정말 때문에 아닙니다 표준 편차는 샘플에서 추정해야하므로 실제로 추정 분산 공분산 행렬입니다.)

\hat{β}

$\hat \beta$

β

$\beta$

— Silverfish

@Silverfish, 정중하게 쫓겨났다. 다음에 나는 "의 추정 분산 - 공분산 행렬 말할 것이다

\hat{β}

$\boldsymbol{\hat\beta}$

— gung-Monica Monica 복원

프로파일 우도 함수를 구성 할 수 있습니다! 그로부터 신뢰 구간을 구성하십시오.

— kjetil b halvorsen

아닌가

이 매개 변수이기 때문에?

v a r (p_{1}) = 0

$var(p_1)=0$

— user0

곱의 분산 계산에 대한 다른 방정식을 찾았습니다.

x와 y가 독립적으로 분포 된 경우 곱의 분산은 비교적 간단합니다. V (x * y) = V (y) * E (x) ^ 2 + V (x) * E (y) ^ 2 + V ( x) * V (y)이 결과는 또한 3 개 이상의 변수가 포함 된 사례로 일반화됩니다 (Goodman 1960). 출처 : 살충제 규제 (1980), 부록 F

Coolserdash : 방정식에 마지막 성분 V (x) * V (y)가 없습니다. 참고 도서 (농약 규제)가 잘못 되었습니까?

또한 두 방정식이 완벽하지 않을 수도 있습니다. " ... 우리는 세 개의 독립 정규 변수의 곱의 분포가 정상이 아님을 보여줍니다 ." ( 소스 ). 정규적 으로 분포 된 두 변수의 곱에서도 긍정적 인 차이 가있을 수 있습니다 .

— 마렉 키 에니
소스

CI / 2 / 2.96 = se의 길이, 즉 A 또는 B의 표준 오차
se ^ 2 = var, 즉 추정치 A 또는 B의 분산
추정 된 A 또는 B를 A 또는 B의 수단으로 사용하십시오 (예 : E (A) 또는 E (B)
이 페이지 http://falkenblog.blogspot.se/2008/07/formula-for-varxy.html 에 따라 var (A * B), 즉 var (C)
var (C)의 제곱근은 C의 se입니다.
(C-1.96 * se (C), C + 1.96 * se (C))는 C의 95 % CI입니다.

A와 B가 서로 관련되어 있으면 공분산도 고려해야합니다.

— 아이스 커피
소스