자기 상관 시간의 정의 (유효한 표본 크기)

나는 약한 고정 시계열의 자기 상관 시간에 대한 문헌에서 두 가지 정의를 발견했다

$$\tau_a = 1+2\sum_{k=1}^\infty \rho_k \quad \text{versus} \quad \tau_b = 1+2\sum_{k=1}^\infty \left|\rho_k\right|$$

여기서 는 지연 에서의 자기 상관 입니다. $\rho_k = \frac{\text{Cov}[X_t,X_{t+h}]}{\text{Var}[X_t]}$$k$

자기 상관 시간의 한 가지 적용은 "유효한 표본 크기"를 찾는 것 입니다. 시계열에 대한 관측치가 있고 자기 상관 시간 를 알고 있다면$n$$\tau$

$$n_\text{eff} = \frac{n}{\tau}$$

평균을 구하기 위해 상관 된 표본 대신 독립된 표본 . 데이터에서 를 추정 하는 것은 쉬운 일이 아니지만 몇 가지 방법이 있습니다 ( Thompson 2010 참조 ).$n$$\tau$

절대 값이없는 정의 는 문헌에서 더 일반적으로 보입니다. 그러나 가능성을 인정합니다 . R과 "coda"패키지 사용 :τ a < $\tau_a$$\tau_a<1$

require(coda)
ts.uncorr <- arima.sim(model=list(),n=10000)         # white noise 
ts.corr <- arima.sim(model=list(ar=-0.5),n=10000)    # AR(1)
effectiveSize(ts.uncorr)                             # Sanity check
    # result should be close to 10000
effectiveSize(ts.corr)
    # result is in the neighborhood of 30000... ???

"coda"의 "effectiveSize"함수는 위의 와 동등한 자기 상관 시간의 정의를 사용합니다 . 효과적인 샘플 크기 또는 자기 상관 시간을 계산하는 다른 R 패키지가 있으며, 내가 시도한 모든 결과는 이와 일치하는 결과를 제공합니다. 음수 AR 계수를 갖는 AR (1) 프로세스 는 상관 관계보다 더 효과적인 샘플을 가지고 있습니다 시계열. 이상해 보인다. $\tau_a$

분명히, 이것은 자기 상관 시간 의 정의 에서 결코 일어날 수 없습니다 .$\tau_b$

자기 상관 시간의 정확한 정의는 무엇입니까? 효과적인 샘플 크기를 이해하는 데 문제가 있습니까? 위에 표시된 결과는 잘못된 것 같습니다. 무슨 일입니까?$n_\text{eff} > n$

첫째, "유효한 표본 크기"의 적절한 정의는 매우 구체적인 질문과 관련된 IMO입니다. 경우 동일 평균과 분산 및 분산 1 경험적 평균 의 바이어스 추정량 . 그러나 차이는 어떻습니까? 들면 독립 변수 편차는 . 약하게 고정 된 시계열의 경우 의 분산 은 μ μ = $X_1, X_2, \ldots$$\mu$μN-1 μ

$$\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$$ $\mu$$n^{-1}$$\hat{\mu}$nneff=n/τan - 1 eff neffneff=n/τ $$\frac{1}{n^2} \sum_{k, l=1}^n \text{cov}(X_k, X_l) = \frac{1}{n}\left(1 + 2\left(\frac{n-1}{n} \rho_1 + \frac{n-2}{n} \rho_2 + \ldots + \frac{1}{n} \rho_{n-1}\right) \right) \simeq \frac{\tau_a}{n}.$$ 근사값은 충분히 큰 유효합니다 . 우리가 정의하면 , 약하게 고정 시계열 경험적 평균의 편차는 대략 , 동일한 분산 인 마치 독립 샘플 이있는 것처럼 따라서 경험적 평균의 분산을 요청하는 경우 는 적절한 정의입니다. 다른 목적에는 적합하지 않을 수 있습니다.$n$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$$n_{\text{eff}}^{-1}$$n_{\text{eff}}$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$

관측치간에 음의 상관 관계가 있으면 분산이 ( ) 보다 작아 질 수 있습니다 . 이것은 Monto Carlo 통합에서 잘 알려진 분산 감소 기법입니다. 상관 관계 0 대신 변수 사이에 음의 상관 관계를 도입하면 표본 크기를 늘리지 않고도 분산을 줄일 수 있습니다. n eff > $n^{-1}$$n_{\text{eff}} > n$

참조 http://arxiv.org/pdf/1403.5536v1.pdf를

과

https://cran.r-project.org/web/packages/mcmcse/mcmcse.pdf

효과적인 샘플 크기. 배치 평균을 통한 표본 분산과 점근 적 Markov 사슬 분산의 비율을 사용하는 대체 공식이 더 적절한 추정기라고 생각합니다.