균일하게 분포되고 상관 된 난수 쌍 생성

특정 상관 관계로 임의의 숫자 쌍을 생성하고 싶습니다. 그러나 균일 변수의 선형 조합이 더 이상 균일하게 분포 된 변수가 아니기 때문에 두 정규 변수의 선형 조합을 사용하는 일반적인 방법은 여기서 유효하지 않습니다. 두 변수가 균일해야합니다.

주어진 상관 관계로 균일 한 변수 쌍을 생성하는 방법에 대한 아이디어가 있습니까?

correlation random-generation uniform

— 온 투르 니오
소스

밀접한 관련 : stats.stackexchange.com/questions/30526 . 또한 copula 태그 를 확인하려면 여기 링크를 클릭하십시오. 빠르고 더러운 기법은 및 때 가 균일하게 이고 가되도록하는 것 입니다. 상관 관계는

이며,

은 트릭을 수행합니다. 그러나 copulas는 당신에게 더 많은 통제권을 줄 것입니다 ....

X

$X$

[0, 1]

$[0,1]$

Y = X

$Y=X$

X \leq α

$X\le\alpha$

Y = 1 + α - X

$Y=1+\alpha-X$

ρ = 2 (α - 1)^{3} + 1

$\rho=2(\alpha-1)^3+1$

α = 1 - ((1 - ρ) / 2)^{1 / 3}

$\alpha=1-((1-\rho)/2)^{1/3}$

— whuber

의견을 주셔서 감사합니다,하지만 예, 나는이 방법이 정말 "더러운"것이라고 생각합니다

— Onturenio

이 접근법을 볼 때 난수 쌍의 속성에 관한 추가 기준을 제공 할 수 있고 인식해야한다는 것을 알기를 바랍니다. 이것이 "더러운"경우 솔루션에 어떤 문제가 있습니까? 귀하의 상황에보다 적합한 답변을 제공 할 수 있도록 알려주십시오.

— whuber

이 질문은 선형 회귀 관계로 RV 쌍을 생성하는 방법과 밀접한 관련이있는 질문에 대한 응답으로 우연히 답변되었습니다. 선형 회귀의 기울기는 상관 계수와 쉽게 계산되는 방식으로 관련되어 있으며 가능한 모든 기울기가 생성 될 수 있기 때문에 원하는 것을 정확하게 생성 할 수 있습니다. stats.stackexchange.com/questions/257779/…를 참조하십시오 .

— whuber

또한 stats.stackexchange.com/questions/31771 을 참조하십시오.이 규칙 은 일반화에 임의의 3 개의 유니폼을 제공합니다.

— whuber

답변:

주어진 한계 분포와 상관 랜덤 변수를 생성하는 보편적 인 방법을 알지 못합니다. 따라서 주어진 (피어슨) 상관 관계로 균일하게 분포 된 랜덤 변수 쌍을 생성하는 임시 방법을 제안합니다. 일반성을 잃지 않으면 서 원하는 한계 분포가 표준 균일하다고 가정합니다 (즉,지지는 ). $[0, 1]$

제안 된 방법은 다음에 의존한다 :
a) 표준 균일 랜덤 변수의 및 각 분포 함수와 및 , 우리가 들어, . 따라서 Spearman의 rho 는 따라서 Spearman의 rho와 Pearson의 상관 계수는 동일합니다 (샘플 버전은 다를 수 있음). $U_1$ $U_2$ $F_1$ $F_2$ $F_i(U_i) = U_i$ $i = 1, 2$

ρ_{S} (U_{1}, U_{2}) = c o r r (F_{1} (U_{1}), F_{2} (U_{2})) = c o r r (U_{1}, U_{2}) .

$\rho_{\rm S}(U_1, U_2) = {\rm corr}(F_1(U_1), F_2(U_2)) = {\rm corr}(U_1, U_2) .$

b) 가 연속 마진을 갖는 랜덤 변수이고 (Pearson) 상관 계수가 인 가우스 copula 인 경우 Spearman의 rho는 이를 통해 원하는 Spearman 's rho 값을 갖는 랜덤 변수를 쉽게 생성 할 수 있습니다. $X_1, X_2$ $\rho$

ρ_{에스} ({엑스}_{1}, {엑스}_{2}) = \frac{6}{π} 아크 신 (\frac{ρ}{2}) .

$\rho_{\rm S}(X_1, X_2) = \frac{6}{\pi} \arcsin \left(\frac{\rho}{2}\right) .$

이 방법은 Spearman 's rho가 균일 한 랜덤 변수에 대한 원하는 상관 관계에 일치하도록 적절한 상관 계수 Gaussian copula에서 데이터를 생성 하는 것입니다. $\rho$

시뮬레이션 알고리즘
하자는 상관도의 원하는 레벨을 나타내며, 쌍의 수를 생성한다. 알고리즘은 다음과 같습니다. $r$ $n$

계산 . $\rho = 2\sin (r \pi/6)$
Gaussian copula에서 무작위 변수 쌍을 생성합니다 (예 : 이 방법으로 )
2 단계를 반복하십시오 . $n$

예제
다음 코드는 대상 상관 관계가 이고 쌍인 R을 사용하여이 알고리즘을 구현 한 예입니다 . $r = 0.6$ $n = 500$

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
r <- 0.6                            # Target (Spearman) correlation
n <- 500                            # Number of samples

## Functions
gen.gauss.cop <- function(r, n){
    rho <- 2 * sin(r * pi/6)        # Pearson correlation
    P <- toeplitz(c(1, rho))        # Correlation matrix
    d <- nrow(P)                    # Dimension
    ## Generate sample
    U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))
    return(U)
}

## Data generation and visualization
U <- gen.gauss.cop(r = r, n = n)
pairs(U, diag.panel = function(x){
          h <- hist(x, plot = FALSE)
          rect(head(h$breaks, -1), 0, tail(h$breaks, -1), h$counts/max(h$counts))})

아래 그림에서 대각선 도표는 변수 및 히스토그램을 보여주고 대각선 도표는 및 의 산점도를 보여줍니다 . $U_1$ $U_2$ $U_1$ $U_2$ 여기에 이미지 설명을 입력하십시오

구성에 의해 랜덤 변수는 균일 한 마진과 상관 계수 가깝습니다 . 그러나 샘플링의 효과로 인해 시뮬레이션 된 데이터의 상관 계수가 과 정확히 같지 않습니다 . $r$ $r$

cor(U)[1, 2]
# [1] 0.5337697

이 gen.gauss.cop함수는 단순히 더 큰 상관 관계 행렬을 지정하여 둘 이상의 변수 에서 작동해야합니다.

시뮬레이션 연구
대상 상관 관계 대해 반복 된 다음 시뮬레이션 연구 는 표본 크기 증가함에 따라 상관 계수의 분포가 원하는 상관 관계로 수렴됨을 제안합니다 . $r= -0.5, 0.1, 0.6$ $n$

## Simulation
set.seed(921)
r <- 0.6                                                # Target correlation
n <- c(10, 50, 100, 500, 1000, 5000); names(n) <- n     # Number of samples
S <- 1000                                               # Number of simulations

res <- sapply(n,
              function(n, r, S){
                   replicate(S, cor(gen.gauss.cop(r, n))[1, 2])
               }, 
               r = r, S = S)
boxplot(res, xlab = "Sample size", ylab = "Correlation")
abline(h = r, col = "red")

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

— QuantIbex
소스

주어진 한계 분포와 상관 된 다변량 분포를 생성하는 일반적인 방법을 copula 라고합니다 .

— whuber

@ whuber에서 copula를 사용하면 임의 변수 사이의 의존성 구조를 지정할 수 있습니다. 문제는 (개인) 상관 관계가 의존성 구조와 마진에 의해 영향을 받는다는 것입니다. 따라서, 여백의 각 선택은 주어진 여백에 대해 단순히 일부 수준의 상관 관계를 달성 할 수 없다는 것을 언급하지 않고, copula 매개 변수의 해당 선택을 필요로합니다 (예 : 여기 참조 ). 여백 선택에 대한 상관 수준을 '제어'할 수있는 방법을 알고 있다면 그것에 대해 알고 싶습니다.

— QuantIbex

감사합니다 @QuantIbex. 그러나 나는 왜 "a) 표준 균일 한 마진을 갖는 랜덤 변수에 대한 스피어 맨의 rho와 (Pearson 's) 상관 계수가 큰 표본에서 대략 동일하다는 것을

— 알 수 없다

Quantlbex, 필요한 것은 Frechet-Hoeffding 하한에서 상한까지 연속적인 copulas 경로를 만드는 것입니다. 동일한 한계 값에 대해 상관 계수는 해당 경로에서 간격 까지의 연속 함수입니다 . 질문에 대한 주석에서 나의 "빠르고 더러운"예제는 그러한 길 중 하나이지만 분명히 다른 많은 것들이 있습니다. copulas는 그러한 길을 만들고 설명하는 가장 포괄적이고 가장 일반적인 방법을 제공합니다. 이것이 보여주는 것은 원래의 질문이 (총체적으로) 결정되었다는 것입니다. 솔루션에 대한 추가 기준을 규정해야합니다.

[- 1, 1]

$[-1,1]$

— whuber

@Quantibex 나는 gen.gauss.cop함수가 (사소한) 미세 조정으로 두 개 이상의 변수에서 작동 할 것이라고 지적하는 문장을 추가 할 자유를 얻었습니다 . 추가가 마음에 들지 않거나 다르게 넣으려면 필요에 따라 되돌 리거나 변경하십시오.

— Glen_b-복지 모니카

직관적 인 때문에 동일 [이고 ] 경우, 및 동일 [이고 경우] 하므로 인 어느 경우에. 와 동일합니다 . 상관 관계에 관해서는 : $u_1$ $U(0,1)$ $u_1$ $w_1$ $U(0,1)$ $I = 1$ $u_1$ $w_2$ $U(0,1)$ $I = 0$ $u_1$ $U(0,1)$ $u_2$

$E(u_1 u_2) = E[I w_1 + (1-I) w_2][I w_1 + (1-I) w_3]$

이것을 확장하면, 항상 항상 또는 이기 때문에 , 및 입니다. 또한 독립적이며, 또한 서로 독립적입니다. 그래서: $I(I-1)=0$ $I^2=I$ $(1-I)^2=(1-I)$ $I$ $0$ $1$ $I$ $w$

$E(u_1 u_2) = E(I)E(w_1^2) + E(1-I)E(w_2)E(w_3)$ $=pE(w_1^2)+(1-p)/4$

사실에서 우리 얻을 이므로 이다 : . 이후 , 우리는 마침내 얻을 . $V(w_1)=1/12$ $E(w_1^2)=1/3$ $E(u_1 u_2) = p/12 + 1/4$ $cov(u_1 u_2) = p/12$ $V(u_1)=V(u_2)=1/12$ $cor(u_1, u_2) = p$

— 닐 오덴
소스

여기에 양의 상관 관계에 대한 쉬운 하나의 방법은 다음과 같습니다하자 , 및 독립적 인 와 베르누이 인 ( ). 과 는 상관 관계 와 함께 분포 를 갖습니다 . 이는 복합 대칭 분산 행렬을 사용하여 유니폼의 튜플 까지 즉시 확장됩니다 . $(u_1, u_2) = Iw_1 + (1-I) (w_2, w_3)$ $w_1, w_2,$ $w_3$ $U(0,1)$ $I$ $p$ $u_1$ $u_2$ $U(0,1)$ $p$ $k$

음의 상관 관계를 갖는 쌍을 원하면 을 사용하면 상관 관계는 입니다. $(u_1, u_2) = I(w_1, 1-w_1) + (1-I)(w_2, w_3)$ $-p$

— 닐 오덴
소스

이것이 왜 효과가 있는지에 대한 간단한 증거를 추가 할 수 있습니까?

— Laconic

계산 효율성을 도 동일한 상관 관계를 생성합니다 (긍정적 및 부정적 경우 모두)

u_{1} = w_{1}

$u_1=w_1$

— Anvit