비 중심 카이-제곱 랜덤 변수의 합

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나는 랜덤 변수 의 분포를 찾아야합니다. 여기서 및 모든 는 독립적입니다. 먼저 대한 모든 순간 생성 함수의 곱을 찾은 다음 다시 변환하여 분포 를 얻을 수 있음을 알고 있습니다. 그러나 대한 일반적인 형식이 있는지 궁금합니다.

Y = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

Y

$Y$

Y

$Y$ 가우스 사례와 같이 : 우리는 독립 가우스의 합이 여전히 가우스임을 알고 있으므로 합산 평균과 합산 분산 만 알면됩니다.

모든 어떻습니까? 이 조건이 일반적인 해결책이됩니까? $\sigma^2_i=\sigma^2$

— 함정
소스

1

아래의 첫 번째 항을 보면 여기 명확 최종 상태로 관통 스케일링 noncentral 카이 제곱 (분할을 산출

(스케일 팩터는 전면)과 메이크업 꺼내

에서

). 당신이 시작한보다 일반적인 형태는 선형 조합 또는 척도 가중 평균과 같 으며, 평평한 척도 제곱이 아닌 계수

...와 같 으며 일반적으로 필요한 분포가 없을 것이라고 생각합니다.

σ^{2}

$\sigma^2$

σ_{i} = 1

$\sigma_i=1$

\sum_{i = 1}^{k} (X_{i} / σ_{i})^{2}

$\sum_{i=1}^k (X_i/\sigma_i)^2$

σ_{i}^{2}

$\sigma^2_i$

— Glen_b-복지 모니카

필요한 경우에 따라 특정 경우 수치 변환 또는 시뮬레이션을 수행 할 수 있습니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

이것은 '로그 카이 제곱 대 전력의 가중 합계'분포에 의해 일반화됩니다. 내 R 패키지 sadists는

대한 대략적인 'dpqr'함수를 제공합니다 . cf github.com/shabbychef/sadists

Y

$Y$

— shabbychef

17

Glen_b가 의견에서 언급했듯이 분산이 모두 같으면 비 중앙 카이 제곱으로 끝납니다.

그렇지 않은 경우, (A)의 개념이 일반화 카이 제곱 분포 즉, 에 대한 및 수정이. 이 경우, 대각선 ( ) 및 의 특수한 경우가 있습니다. $x^T A x$ $x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$ $\Sigma$ $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

이 배포판으로 물건을 계산하는 작업이있었습니다.

Imhof (1961) 및 Davies (1980) 는 특성 함수를 수치 적으로 반전시킵니다.
Sheil and O'Muircheartaigh (1977) 는 분포를 중심 카이 제곱 변수의 무한 합으로 씁니다.
Kuonen (1999) 은 pdf / cdf에 안장 근사치를 제공합니다.
Liu, Tang 및 Zhang (2009) 은 누적 매칭을 기반으로하는 비 중앙 카이 제곱 분포로 근사치입니다.

독립 비 중앙 카이 제곱 변수 이 경우 : $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Castaño-Martínez와 López-Blázquez (2005) 는 pdf / cdf에 대해 Laguerre 확장을 제공합니다.

Bausch (2013) 는 중심 카이 제곱의 선형 조합에 대해보다 계산적으로 효율적인 알고리즘을 제공합니다. 그의 작품은 비 중앙 카이 제곱으로 확장 가능할 수 있으며 관련 작업 섹션에서 흥미로운 포인터를 찾을 수 있습니다.

— 더갈
소스

2

근사화 방법의 비교는 Duchesne et al. 2010. 전산 통계 및 데이터 분석, 54, 858–862. 저자는 구현과 함께 R 패키지 CompQuadForm 을 유지 보수합니다 .

— caracal

-10

이것은 n 자유도의 카이-제곱이 될 것입니다.

— 아흐메드
소스

6

μ_{i}

$\mu_i$