측정 농도 불평등 이해

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이 질문의 정신 에서 Hoeffding 불평등에 사용 된 정리의 증거 를 이해하면서 Hoeffding의 불평등으로 이어지는 단계를 이해하려고 노력하고 있습니다.

증거에서 가장 미스터리 한 점은 Markov의 부등식이 적용된 후 iid 변수의 합계에 대해 지수 모멘트가 계산되는 부분입니다.

저의 목표는 이해하는 것입니다. 왜이 기법이 불평등 한 불평등을 주며, 우리가 달성 할 수있는 가장 빡빡합니까? 일반적인 설명은 지수의 속성을 생성하는 순간을 말합니다. 그러나 나는 이것이 너무 모호하다는 것을 안다.

Tao의 블로그 ( http://terrytao.wordpress.com/2010/01/03/254a-notes-1-concentration-of-measure/#hoeff) 의 게시물에 일부 답변이있을 수 있습니다.

이 목표를 염두에두고, 내 질문은 내가 갇힌 Tao의 게시물에서 세 가지 점에 관한 것이며 한 번 설명하면 통찰력을 줄 수 있기를 바랍니다.

Tao는 k 번째 모멘트 사용하여 다음과 같은 부등식을 도출합니다. 어떤 k에 대해서도 이것이 사실이라면, 그는 지수 바운드를 마칩니다. 내가 잃어버린 곳입니다.
$P (| S_{n} | \geq λ \sqrt{n}) \leq 2 (\frac{\sqrt{e k / 2}}{λ})^{k} . (7)$ $\displaystyle {\bf P}( |S_n| \geq \lambda \sqrt{n} ) \leq 2 (\frac{\sqrt{ek/2}}{\lambda})^k. \ \ \ \ \ (7)$ $P (| S_{n} | \geq λ \sqrt{n}) \leq C \exp (- c λ^{2}) (8)$ $\displaystyle {\bf P}( |S_n| \geq \lambda \sqrt{n} ) \leq C \exp( - c \lambda^2 ) \ \ \ \ \ (8)$
${X}$ ${[a,b]}$ ${t>0}$
$E e^{t X} \leq e^{t E X} (1 + O (t^{2} V a r (X) \exp (O (t (b - a)))) . (9)$ $\displaystyle {\bf E} e^{tX} \leq e^{t {\bf E} X} (1 + O( t^2 {\bf Var}(X) \exp( O( t (b-a) ) ) ). \ \ \ \ \ (9)$ $E e^{t X} \leq e^{t E X} \exp (O (t^{2} (b - a)^{2})) . (10)$ $\displaystyle {\bf E} e^{tX} \leq e^{t {\bf E} X} \exp( O( t^2 (b-a)^2 ) ). \ \ \ \ \ (10)$ $\displaystyle e^{tX} = 1 + tX + O( t^2 X^2 \exp( O(t) ) )$ 확장이 왜 이차 항에 의해 구속 될 수 있습니까? 그리고 방정식 10은 어떻게됩니까?
${O(t^2(b-a)^2)}$ ${t^2 (b-a)^2/8}$

불평등의 증거 또는 우리가 더 긴밀한 경계를 이끌어 낼 수없는 이유에 대한 추가 직관 / 설명은 분명히 환영합니다.

probability probability-inequalities

— 사자 별자리
소스

Hoeffding의 원본을 읽었습니까?

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos 나는 실제로하지 않았습니다. 나는 그 파생물이 내가 찾고있는 설명이 부족한 수학 과정에서 일반적으로 가르치는 대수적 단계로 구성되어 있다는 인상을 받고 있습니다. 다르게 말할 수 있습니까?

— Leo

나는 당신이 그것을 읽을 것을 제안합니다. jstor의 안정 URL은 jstor.org/stable/2282952 입니다. "당신에게 가장 비밀을 간직한 것"은 논문의 정리 1, 2, 3입니다. 그 증거는 논문의 4 절에 있습니다 (끝이 아님). 나는 당신이 "비 수학적"직관을 찾고 있는지 모른다. 만약 그렇다면, 항상 존재하지는 않는다.

— Alecos Papadopoulos

답변:

3

$\mathbb{E}e^X$ $\mathbb{E} X$ $X$ $\mathbb{E} e^X$ $\mathbb{E}X$ $\mathbb{E} e^X$ $\mathbb{E} e^X$ $e^{X}=1+X+\frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{6}+\ldots$ $X$ $\mathbb{E}X$ $X$

— gmravi2003
소스

2

f

$f$

0

$0$

e^{X}

$e^X$

f (X)

$f(X)$

1

f

$f$

f (x) > 0

$f(x) >0$

X

$X$

e^{X}

$e^X$

1

나는 그것을 조사하지는 않았지만 지수는 당신이 지명하는 것들을 포함하여 특정 속성을 즐긴다 고 생각합니다. 그러나 푸리에 및 라플라스 변환의 속성과 관련 하여이 기능이 필수적인 이유가 더 깊습니다. 지수 부등식의 파생물을 탐색하여 지수의 어떤 속성이 실제로 사용되는지 살펴볼 수 있습니다. (+1)

— whuber

P {x 1 + x 2 > 0} = E {1 [x 1 + x 2 > 0]} \leq E {e x p (t * x 1)} E {e x p (t * x 2)}

$P\{x1+x2>0\}=E\{1[x1+x2>0]\} \leq E\{exp(t*x1)\}E\{exp(t*x2)\}$

E {e x p (t * x 1)} < 1

$E\{exp(t*x1)\}<1$

이 경계의 기밀성에 대한 질문에 관심을 갖고 싶습니다 : stats.stackexchange.com/questions/77019/…

— Leo

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