ARMA (2,1) 프로세스의 자기 공분산

ARMA (2,1) 프로세스 의 autocovariance 함수 에 대한 분석 표현식을 파생시켜야합니다 .$\gamma\left(k\right)$

$y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+\theta_1\epsilon_{t-1}+\epsilon_t$

그래서 나는 그것을 알고 있습니다 :

$\gamma\left(k\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_{t-k}\right]$

그래서 쓸 수 있습니다 :

$\gamma\left(k\right) = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_{t-k}\right]+\phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_{t-k}\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-k}\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-k}\right]$

그런 다음 autocovariance 함수의 분석 버전을 도출하려면 정수보다 큰 모든 대해 유효한 재귀를 얻을 때까지 -0, 1, 2 ...의 값을 대체해야합니다 .$k$$k$

따라서 대체 $k=0$하고 이것을 통해 다음을 얻습니다.

$$\gamma \left(0\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_t\right] = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_t\right] + \phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_t\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_t\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_t\right]\\ $$

이제이 두 용어 중 처음 두 개를 단순화 한 다음 이전과 같이 를 대신 할 수 있습니다 .$y_t$

$$\gamma\left(0\right) = \phi_1 \gamma\left(1\right) + \phi_2 \gamma\left(2\right)\\ + \theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1} \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]\\ + \mathrm{E}\left[\epsilon_t \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]$$

그런 다음 8 개의 항을 곱합니다.

$$+\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]\\ +\theta_1\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1^2\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right]=\theta_1^2\sigma_{\epsilon}^2\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\epsilon_{t}\right]=\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]=0\\ +\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-1}\right]\\ +\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_t\epsilon_{t-1}\right] = \theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0 \\ +\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_t\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

따라서 나머지 4 개의 항을 해결해야합니다. 4 줄과 7 줄에서 사용한 것과 같은 1, 2, 5 및 6 줄에 동일한 논리를 사용하고 싶습니다-예를 들어 1 줄의 경우

E [ ϵ t - 1 ] = $\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0$ 이므로 입니다.$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

2, 5, 6 행과 비슷하지만 대한 표현 이 다음과 같이 단순화 됨을 제안하는 모델 솔루션이 있습니다 .$\gamma\left(0\right)$

$\gamma\left(0\right) = \phi_1\gamma\left(1\right)+\phi_2\gamma\left(2\right) +\theta_1\left(\phi_1+\theta_1\right)\sigma_{\epsilon}^2+\sigma_{\epsilon}^2$

이것은 위에서 설명한 단순화가 계수를 가진 용어를 놓치게 된다는 것을 암시합니다.이 논리는 0이어야합니다. 논리가 잘못되었거나 모델 솔루션이 잘못 되었습니까?$\phi_1$

작동 된 솔루션은 또한 "아날로그 적으로" 를 다음과 같이 찾을 수 있다고 제안합니다 .$\gamma\left(1\right)$

$\gamma\left(1\right) = \phi_1\gamma\left(0\right)+\phi_2\gamma\left(1\right) + \theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

및에 대한 :$k>1$

$\gamma\left(k\right) = \phi_1\gamma\left(k-1\right)+\phi_2\left(k-2\right)$

질문이 명확하기를 바랍니다. 도움을 주시면 감사하겠습니다. 미리 감사드립니다.

이것은 내 연구와 관련된 질문이며 시험이나 교과 과정을 준비하고 있지 않습니다.

ARMA 프로세스가 원인 인 경우 자기 공분산 계수를 제공하는 일반 공식이 있습니다.

인과적인 프로세스 여기서 는 평균 0이고 분산이 백색 잡음입니다 . 인과 관계 속성에 의해 프로세스는 로 작성 될 수 있습니다 여기서 는 -weights를 나타냅니다 .y t = p ∑ i = 1 ϕ i y t − 1 + q ∑ j = 1 θ j ϵ t − j + ϵ t , ϵ t σ 2 ϵ y t = ∞ ∑ j = 0 ψ j ϵ t − j , ψ j$\text{ARMA}(p,q)$

$$y_t = \sum_{i = 1}^p \phi_i y_{t-1} + \sum_{j = 1}^q \theta_j \epsilon_{t - j} + \epsilon_t,$$ $\epsilon_t$$\sigma_\epsilon^2$ $$y_t = \sum_{j = 0}^\infty \psi_j \epsilon_{t - j},$$ $\psi_j$$\psi$

인과 적 프로세스 의 자기 공분산 계수에 대한 일반적인 동종 방정식 은 초기 조건 $\text{ARMA}(p,q)$

$$\gamma (k) - \phi_1 \gamma (k-1) - \cdots - \phi_p \gamma (k-p) = 0, \quad k \geq \max (p, q+1),$$ $$\gamma (k) - \sum_{j = 1}^p \phi_j \gamma (k-j) = \sigma_\epsilon^2 \sum_{j = k}^q \theta_j \psi_{j - k}, \quad 0 \leq k < \max (p, q+1).$$

원래 질문의 계산 실수는

$$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0 \qquad \text{(mistaken)}$$

- 과 대한 기대치를 분리 할 수 ​​없습니다 .$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-1}$

확인. 따라서 게시물을 작성하는 과정에서 실제로 솔루션을 가리 켰습니다.

위에서 0이라는 예상되는 용어 1, 2, 5 및 6을 고려하십시오.

즉시 5- -및 6- :이 용어는 확실히 제로 때문에 과 무관 및 .$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-1}\right]$$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-2}\right]$$y_{t-1}$$y_{t-2}$$\epsilon_t$$\mathrm{E}\left[\epsilon_t\right] = 0$

그러나 용어 1과 2는 기대 값이 두 개의 상관 변수 인 것처럼 보입니다. 따라서 및 대한 표현식을 고려하십시오 .$y_{t-1}$$y_{t-2}$

$$y_{t-1} = \phi_1y_{t-2}+\phi_2y_{t-3}+\theta_1\epsilon_{t-2}+\epsilon_{t-1}\\ y_{t-2} = \phi_1y_{t-3}+\phi_2y_{t-4}+\theta_1\epsilon_{t-3}+\epsilon_{t-2}$$

용어 1- . 에 대한 표현식의 양변 에 을 곱한 다음 기대 값을 취하면 마지막 값을 제외한 오른쪽의 모든 항이 0이됩니다 ( 값 때문에 , 및 는 및 와 독립적입니다 ) :$\phi_1\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$y_{t-1}$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-2}$$y_{t-3}$$\epsilon_{t-2}$$\epsilon_{t-1}$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

따라서 1 번 항은 됩니다. 용어 2의 경우 동일한 논리에 의해 모든 용어가 0이라는 것이 분명해야합니다.$+\phi_1\theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

따라서 원래 모델 답변이 정확했습니다.

그러나 누구나 (일반적인 경우에도) 일반적인 솔루션을 얻을 수있는 다른 방법을 제안 할 수 있다면 매우 기쁩니다.