수정 된 Dirichlet 배포의 예상 값은 얼마입니까? (통합 문제)

동일한 척도 모수의 감마 변수를 사용하여 Dirichlet 분포를 사용하여 임의 변수를 쉽게 생성 할 수 있습니다. 만약:

$X_i \sim \text{Gamma}(\alpha_i, \beta)$

그때:

$\left(\frac{X_1}{\sum_j X_j},\; \ldots\; , \frac{X_n}{\sum_j X_j}\right) \sim \text{Dirichlet}(\alpha_1,\;\ldots\;,\alpha_n)$

문제 스케일 파라미터가 같지 않으면 어떻게됩니까?

$X_i \sim \text{Gamma}(\alpha_i, \beta_i)$

그렇다면이 변수의 분포는 무엇입니까?

$\left(\frac{X_1}{\sum_j X_j},\; \ldots\; , \frac{X_n}{\sum_j X_j}\right) \sim \; ?$

저에게는이 분포의 예상 가치를 아는 것으로 충분합니다.
컴퓨터로 매우 빠르게 평가할 수있는 대략적인 폐쇄 대수 공식이 필요합니다.
0.01의 정확도를 가진 근사치가 충분하다고 가정 해 봅시다.
다음과 같이 가정 할 수 있습니다.

$\alpha_i, \beta_i \in \mathbb{N}$

참고 간단히 말해서,이 적분의 근사값을 찾는 것입니다.

$f(\vec{\alpha}, \vec{\beta}) = \int_{\mathbb{R}^n_+} \;\frac{x_1}{\sum_j x_j} \cdot \prod_j \frac{\beta_j^{\alpha_j}}{\Gamma(\alpha_j)} x_j^{\alpha_j - 1} e^{-\beta_j x_j} \;\; dx_1\ldots dx_n$

— 우카 쉬 류
소스

@ Łukasz 매개 변수

및

대해 더 자세히 말해 줄 수 있습니까 ?

대한 정확한 표현을 얻을 수 있으므로 비율에 대한 기대치를 근사 할 수 있지만, 매개 변수의 특정 조합에 대해서는 노멀 또는 안장 근사값을 적은 작업으로 활용할 수 있습니다. 나는 보편적 인 근사법이있을 것이라고 생각하지 않기 때문에 추가 제한이 환영받을 것입니다.

n

$n$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{i}

$\beta_i$

\sum_{j} X_{j}

$\sum_j{X_j}$

— whuber

과

는 상관 관계가 있으므로 적분 자체에 근접해야합니다.

는 종종 1 또는 2와 같은 작은 수이고 때로는 10000만큼 큽니다.

비슷하지만 일반적으로

보다 10 배 더 큽니다.

X_{1}

$X_1$

\sum_{j} X_{j}

$\sum_j X_j$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{i}

$\beta_i$

α_{i}

$\alpha_i$

— Łukasz Lew

문제는 작은

입니다. 모든

가 크면 전체 적분의 근사값은 다음과 같습니다.

α_{i}

$\alpha_i$

α_{i}

$\alpha_i$

\frac{α_{1} / β_{1}}{\sum_{j} α_{j} / β_{j}}

$\frac{\alpha_1/\beta_1}{\sum_j \alpha_j/\beta_j}$

— Łukasz Lew

@ Łukasz 기대치의 표현을 평가해야한다면 왜 대수 공식이 필요한가요? :) 내가 기대를 얻기 위해 몇 가지 숫자 트릭을 적용 생각하고 있지만 몇 가지 피드백을 필요로하는 것은

— deps_stats

내 프로그램에서 여러 번 평가해야합니다. 매우 빠르지 않아야합니다. 즉, 루프가없고, 바람직하게는 너무 많은 분할이 없어야합니다.

— Łukasz Lew

계산 속도를 원한다면 일반적으로 정확도를 희생해야합니다. "정확도": "일반" 어쨌든 여기에 2 차 근사가 있으며 위의 의견에서 제안한 "원유"를 개선해야합니다.

E (\frac{X_{j}}{\sum_{i} X_{i}}) \approx \frac{E [X_{j}]}{E [\sum_{i} X_{i}]} - \frac{c o v [\sum_{i} X_{i}, X_{j}]}{E [\sum_{i} X_{i}]^{2}} + \frac{E [X_{j}]}{E [\sum_{i} X_{i}]^{3}} V a r [\sum_{i} X_{i}]

$E\Bigg(\frac{X_{j}}{\sum_{i}X_{i}}\Bigg)\approx \frac{E[X_{j}]}{E[\sum_{i}X_{i}]} -\frac{cov[\sum_{i}X_{i},X_{j}]}{E[\sum_{i}X_{i}]^2} +\frac{E[X_{j}]}{E[\sum_{i}X_{i}]^3} Var[\sum_{i}X_{i}]$

= \frac{α_{j}}{\sum_{i} \frac{β_{j}}{β_{i}} α_{i}} \times [1 - \frac{1}{(\sum_{i} \frac{β_{j}}{β_{i}} α_{i})} + \frac{1}{(\sum_{i} \frac{α_{i}}{β_{i}})^{2}} (\sum_{i} \frac{α_{i}}{β_{i}^{2}})]

$= \frac{\alpha_{j}}{\sum_{i} \frac{\beta_{j}}{\beta_{i}}\alpha_{i}}\times\Bigg[1 - \frac{1}{\Bigg(\sum_{i} \frac{\beta_{j}}{\beta_{i}}\alpha_{i}\Bigg)} + \frac{1}{\Bigg(\sum_{i} \frac{\alpha_{i}}{\beta_{i}}\Bigg)^2}\Bigg(\sum_{i} \frac{\alpha_{i}}{\beta_{i}^2}\Bigg)\Bigg]$

EDIT An explanation for the above expansion was requested. The short answer is wikipedia. The long answer is given below.

write $f(x,y)=\frac{x}{y}$ . Now we need all the "second order" derivatives of $f$ . The first order derivatives will "cancel" because they will all involve multiples $X-E(X)$ and $Y-E(Y)$ which are both zero when taking expectations.

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 0

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0$

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = - \frac{1}{y^{2}}

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-\frac{1}{y^2}$

\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 2 \frac{x}{y^{3}}

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2\frac{x}{y^3}$

And so the taylor series up to second order is given by:

\frac{x}{y} \approx \frac{μ_{x}}{μ_{y}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{μ_{y}^{2}} 2 (x - μ_{x}) (y - μ_{y}) + 2 \frac{μ_{x}}{μ_{y}^{3}} (y - μ_{y})^{2})

$\frac{x}{y} \approx \frac{\mu_x}{\mu_y}+\frac{1}{2}\Bigg(-\frac{1}{\mu_y^2}2(x-\mu_x)(y-\mu_y) + 2\frac{\mu_x}{\mu_y^3}(y-\mu_y)^2 \Bigg)$

Taking expectations yields:

E [\frac{x}{y}] \approx \frac{μ_{x}}{μ_{y}} - \frac{1}{μ_{y}^{2}} E [(x - μ_{x}) (y - μ_{y})] + \frac{μ_{x}}{μ_{y}^{3}} E [(y - μ_{y})^{2}]

$E\Big[\frac{x}{y}\Big] \approx \frac{\mu_x}{\mu_y}-\frac{1}{\mu_y^2}E\Big[(x-\mu_x)(y-\mu_y)\Big] + \frac{\mu_x}{\mu_y^3}E\Big[(y-\mu_y)^2\Big]$

Which is the answer I gave. (although I initially forgot the minus sign in the second term)

— probabilityislogic
소스

This looks like exactly what I need. Can you explain how you got this expansion? I tried in a lot of ways and was unable to do that ...

— Łukasz Lew