수정 된 Dirichlet 배포의 예상 값은 얼마입니까? (통합 문제)


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동일한 척도 모수의 감마 변수를 사용하여 Dirichlet 분포를 사용하여 임의 변수를 쉽게 생성 할 수 있습니다. 만약:

XiGamma(αi,β)

그때:

(X1jXj,,XnjXj)Dirichlet(α1,,αn)

문제 스케일 파라미터가 같지 않으면 어떻게됩니까?

XiGamma(αi,βi)

그렇다면이 변수의 분포는 무엇입니까?

(X1jXj,,XnjXj)?

저에게는이 분포의 예상 가치를 아는 것으로 충분합니다.
컴퓨터로 매우 빠르게 평가할 수있는 대략적인 폐쇄 대수 공식이 필요합니다.
0.01의 정확도를 가진 근사치가 충분하다고 가정 해 봅시다.
다음과 같이 가정 할 수 있습니다.

αi,βiN

참고 간단히 말해서,이 적분의 근사값을 찾는 것입니다.

f(α,β)=R+nx1jxjjβjαjΓ(αj)xjαj1eβjxjdx1dxn


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@ Łukasz 매개 변수 , α iβ i에 대해 더 자세히 말해 줄 수 있습니까 ? j X j에 대한 정확한 표현을 얻을 수 있으므로 비율에 대한 기대치를 근사 할 수 있지만, 매개 변수의 특정 조합에 대해서는 노멀 또는 안장 근사값을 적은 작업으로 활용할 수 있습니다. 나는 보편적 인 근사법이있을 것이라고 생각하지 않기 때문에 추가 제한이 환영받을 것입니다. nαiβijXj
whuber

j X j 는 상관 관계가 있으므로 적분 자체에 근접해야합니다. α i 는 종종 1 또는 2와 같은 작은 수이고 때로는 10000만큼 큽니다. β i와 비슷하지만 일반적으로 α i 보다 10 배 더 큽니다. X1jXjαiβiαi
Łukasz Lew

문제는 작은 입니다. 모든 α i 가 크면 전체 적분의 근사값은 다음과 같습니다. α 1 / β 1αiαiα1/β1jαj/βj
Łukasz Lew

@ Łukasz 기대치의 표현을 평가해야한다면 왜 대수 공식이 필요한가요? :) 내가 기대를 얻기 위해 몇 가지 숫자 트릭을 적용 생각하고 있지만 몇 가지 피드백을 필요로하는 것은
deps_stats

내 프로그램에서 여러 번 평가해야합니다. 매우 빠르지 않아야합니다. 즉, 루프가없고, 바람직하게는 너무 많은 분할이 없어야합니다.
Łukasz Lew

답변:


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계산 속도를 원한다면 일반적으로 정확도를 희생해야합니다. "정확도": "일반" 어쨌든 여기에 2 차 근사가 있으며 위의 의견에서 제안한 "원유"를 개선해야합니다.

=α j

E(XjiXi)E[Xj]E[iXi]cov[iXi,Xj]E[iXi]2+E[Xj]E[iXi]3Var[iXi]
=αjiβjβiαi×[11(iβjβiαi)+1(iαiβi)2(iαiβi2)]

EDIT An explanation for the above expansion was requested. The short answer is wikipedia. The long answer is given below.

write f(x,y)=xy. Now we need all the "second order" derivatives of f. The first order derivatives will "cancel" because they will all involve multiples XE(X) and YE(Y) which are both zero when taking expectations.

2fx2=0
2fxy=1y2
2fy2=2xy3

And so the taylor series up to second order is given by:

xyμxμy+12(1μy22(xμx)(yμy)+2μxμy3(yμy)2)

Taking expectations yields:

E[xy]μxμy1μy2E[(xμx)(yμy)]+μxμy3E[(yμy)2]

Which is the answer I gave. (although I initially forgot the minus sign in the second term)


This looks like exactly what I need. Can you explain how you got this expansion? I tried in a lot of ways and was unable to do that ...
Łukasz Lew
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