상관 계수 공식을 이해하는 방법은 무엇입니까?

피어슨 상관 관계 공식을 이해하는 데 도움을 줄 수 있습니까? 표본 $r$ = 변수 $X$ 와 의 표준 점수에 대한 곱의 평균 $Y$ .

와 를 표준화 해야하는 이유 를 이해하지만 두 z 점수의 곱을 이해하는 방법은 무엇입니까? $X$ $Y$

이 공식은 "제품-모멘트 상관 계수"라고도하지만 제품 동작의 근거는 무엇입니까? 내 질문을 분명히했는지 확실하지 않지만 공식을 직관적으로 기억하고 싶습니다.

correlation descriptive-statistics pearson-r

— 아론 루
소스

"상관 계수를 보는 13 가지 방법"(Rodgers & Nicewander 1988) 논문을 읽고 싶을 것이다. 제목에서 알 수 있듯이 상관 계수에 대한 13 가지의 직관적 인 관점을 설명합니다. 희망적으로 적어도 하나는 다음을 클릭 할 것이다 :)

— 1 / 2-pass

13 가지의 방법을 찾을 수 있습니다 여기에

— Dimitriy V. Masterov

stats.stackexchange.com/questions/18058/…에 설명 된대로 상관 관계를 이해하는 14 번째 방법 (z 점수의 곱으로)은 표준화 된 변수 의 공분산 을 이해하는 것 입니다.

— whuber

... 그리고 15 번째 방법은 stats.stackexchange.com/a/46508/919에 표시된 원을 사용합니다 . 최소 제곱 적합은 원의 총 면적을 최소화합니다 (점을 할 때이 작업을 수행하는 두 가지 방법이 있습니다) 정확하게 정렬되지 않음) 그리고 상관 계수는 평균 면적 (두 변수가 표준화 된 경우)입니다.

— whuber

가능한 일반 언어의 공분산이란 무엇입니까?

— kjetil b halvorsen

의견에서 상관 계수를 이해하는 15 가지 방법이 제안되었습니다.

Rodgers and Nicewander 기사 (1988 년 2 월 미국 통계 학자)에서 논의 된 13 가지 방법은 다음과 같습니다.

원시 점수와 수단의 기능,

$r = \frac{\sum (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})}{\sqrt{\sum {(X_{i} - \bar{X})}^{2} {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}}} .$ $r =\frac{\sum\left(X_i - \bar{X}\right)\left(Y_i - \bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum\left(X_i-\bar{X}\right)^2\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}}.$
표준화 된 공분산,

$r = s_{X Y} / (s_{X} s_{Y})$ $r = s_{XY}/(s_Xs_Y)$
여기서 는 표본 공분산이고 와 는 표본 표준 편차입니다. $s_{XY}$ $s_X$ $s_Y$
회귀선의 표준화 된 기울기

$r = b_{Y \cdot X} \frac{s_{X}}{s_{Y}} = b_{X \cdot Y} \frac{s_{Y}}{s_{X}},$ $r = b_{Y\cdot X}\frac{s_X}{s_Y} = b_{X\cdot Y}\frac{s_Y}{s_X},$
여기서 및 는 회귀선의 기울기입니다. $b_{Y\cdot X}$ $b_{X \cdot Y}$
두 회귀 기울기의 기하 평균

$r = \pm \sqrt{b_{Y \cdot X} b_{X \cdot Y}} .$ $r = \pm \sqrt{b_{Y\cdot X}b_{X\cdot Y}}.$
두 분산의 비율의 제곱근 (변동의 비율이 설명 됨)

$r = \sqrt{\frac{\sum {(Y_{i} - \hat{Y_{i}})}^{2}}{\sum {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}}} = \sqrt{\frac{S S_{R E G}}{S S_{T O T}}} = \frac{s_{\hat{Y}}}{s_{Y}} .$ $r = \sqrt{\frac{\sum\left(Y_i - \hat{Y_i}\right)^2}{\sum\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}} = \sqrt{\frac{SS_{REG}}{SS_{TOT}}} = \frac{s_\hat{Y}}{s_Y}.$
표준화 된 변수의 평균 교차 곱,

$r = \sum z_{X} z_{Y} / N .$ $r = \sum z_X z_Y / N.$
두 개의 표준화 된 회귀선 사이의 각도 함수. 두 개의 회귀선 ( 대 및 대 )은 대각선에 대해 대칭입니다. 두 선 사이의 각도를 합니다. 그때 $Y$ $X$ $X$ $Y$ $\beta$

$r = \sec (β) \pm \tan (β) .$ $r = \sec(\beta)\pm \tan(\beta).$
두 변수 벡터 사이의 각도 함수

$r = \cos (α) .$ $r = \cos(\alpha).$
표준화 된 점수의 차이의 재조정 된 차이. 하자 표준화 차이 될 및 각각의 관찰 변수 $z_Y - z_X$ $X$ $Y$

$r = 1 - s_{(z_{Y} - z_{X})}^{2} / 2 = s_{(z_{Y} + z_{X})}^{2} / 2 - 1.$ $r = 1 - s^2_{(z_Y - z_X)} / 2 = s^2_{(z_Y+z_X)}/2 - 1.$
"풍선"규칙에서 추정 한

$r \approx \sqrt{1 - (h / H)^{2}}$ $r \approx \sqrt{1 - (h/H)^2}$
여기서 는 전체 의 수직 범위입니다. $H$ 산점도이고 는 " 축의분포 중심"을 통한 범위, 즉평균점을통한 범위입니다. $X-Y$ $h$ $X$
등 농축의 이변 량 타원과 관련하여,

$r = \frac{D^{2} - d^{2}}{D^{2} + d^{2}}$ $r = \frac{D^2 - d^2}{D^2 + d^2}$
어디 $D$ 와 는 각각 장축 길이와 단축 길이입니다. 은 또한 등고선이 수직 축을 가로 지르는 지점에서 등방 형 등고선의 접선 (표준 좌표)의 기울기와 같습니다. $d$ $r$
설계된 실험의 시험 통계 기능

$r = \frac{t}{\sqrt{t^{2} + n - 2}}$ $r = \frac{t}{\sqrt{t^2 + n-2}}$
$t$ $t$ $X=0, 1$ $n$
$X_c$ $X$

$r = \frac{E (Y | X > X_{c})}{E (X | X > X_{c})} .$ $r = \frac{\mathbb{E}(Y\,|\,X\gt X_c)}{\mathbb{E}(X\,|\,X\gt X_c)}.$

(대부분의 표기법은 약간의 변경 사항 이있는 그대로의 그대로 입니다.)

다른 방법들 (아마도이 사이트에 독창적 임)은

$r$ 은 표준화 된 좌표에서 회귀선의 기울기입니다. 이 선은 산점도에서 선과 데이터 점 사이에 그려진 원의 총 면적을 최소화하는 등 기하학적 선을 포함하여 다양한 방식으로 특성화 할 수 있습니다.
사각형을 채색합니다. 공분산은 산점도에서 사각형을 채색하여 (즉, 부호있는 합산으로) 평가할 수 있습니다. $r$

— whuber
소스

@Avraham, 여기에 답변을 게시 하여이 답변되지 않은 스레드를 마무리하기 위해 노력해 주셔서 감사합니다.

— 우버