두 일반 제품의 합은 Laplace입니까?

인 경우 분명히$X_i \sim N(0,1)$

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

나는 임의의 이차 형태의 논문을 보았는데, 항상 중심이 아닌 카이 제곱 표현이 끔찍하다.

위의 간단한 관계는 나에게 전혀 명백하지 않은 것이므로 (그렇다면) 위의 간단한 증거를 가진 사람이 있습니까?

분포와 잘 알려진 대수 분극 아이덴티티 사이에 잘 ​​알려진 관계를 사용하는 기본 단계 시퀀스 는 기본적이고 직관적 인 데모를 제공합니다.

나는이 편파 아이덴티티가 일반적으로 임의의 변수의 곱에 대한 추론과 계산에 유용하다는 것을 발견했다. 행렬을 먼저 대각선으로 만들어서 작업하는 것과 약간 같습니다. (여기에는 피상적 인 연결 이상이 있습니다.)

Laplace 분포 는 두 지수 의 차이입니다 (지수는 "하프-라플라스"분포이기 때문에 직관적으로 의미가 있습니다). (링크는 특성 함수를 조작하여이를 보여 주지만, 컨벌루션 (convolution)으로서 차이의 정의에 따라 기본 통합을 사용하여 관계를 증명할 수 있습니다.)

지수 분포 (그 자체는 분포)는 (확장 버전 a) 분포 이기도합니다 . 스케일 팩터는 입니다. 이것은 두 배포판의 PDF를 비교하여 쉽게 볼 수 있습니다.χ (2) ( 2 ) 1 /$\Gamma(1)$$\chi^2(2)$$1/2$

$\chi^2$ 분포 는 자연스럽게 iid 정규 분포의 제곱의 합으로 구합니다 (평균이 0 임). 자유도 는 합의 정규 분포 수를 계산합니다.$2$

대수 관계

4 개의 분포의 제곱으로 를 나타내며 , 각 분포는 표준 법선의 선형 조합입니다. 네 가지 선형 조합이 모두 선형으로 독립적인지 (각각 정규 분포를 따르는 지) 쉽게 확인할 수 있습니다. 따라서 평균이 0 인 두 개의 동일하게 분포 된 정규 분포의 제곱을 합한 처음 두 항은 축척 분포 (및 척도 계수 는 정확히 지수 분포로 만드는 데 필요한 것입니다.) 두 번째 두 항에는 동일한 이유로 독립적으로 지수 분포가 있습니다.$X_1X_2 + X_3X_4$$(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$$\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

따라서 두 개의 독립 지수 분포의 차이 인 는 (표준) Laplace 분포를 갖습니다.$X_1X_2+X_3X_4$

ϕ X ( t ) = $X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$ 에는 제품 표준 법선의 특성 함수의 제곱 인 특성 함수 가 있습니다 ( https 참조). : //math.stackexchange.com/questions/74013/characteristic-function-of-product-of-normal-random-variables ). 독립된 랜덤 변수의 합은 특성 함수의 곱과 관련이 있다는 주장이 이어집니다.