계층 적 감마-포아송 모델의 초 우선 밀도

데이터의 계층 모델에서 여기서 는 실제로 통상적으로 나타나는 값 (선택했다 평균과 감마 분포의 편차는 대략 평균 및 상기 데이터의 변화와 일치하도록 (예를 들어, 클레이튼 및 Kaldor 1987 "은 경험적 베이 즈 질병 매핑 연령 표준화 상대 위험 추정치" 생체 인식 ). 그러나 이것은 매개 변수 대한 연구원의 신뢰를 과장하기 때문에 임시 해결책 일뿐입니다.$y$

$$y \sim \textrm{Poisson}(\lambda)$$ $$\lambda \sim \textrm{Gamma}(\alpha, \beta)$$ $\alpha, \beta)$$y$$(\alpha, \beta)$기본 데이터 생성 프로세스가 동일하게 유지 되더라도 실현 된 데이터의 작은 변동은 감마 밀도에 큰 영향을 미칠 수 있습니다 .

또한 Bayesian Data Analysis (2nd Ed)에서 Gelman은이 방법이 " 조잡 하다고 ; 이 책 과이 논문 (p. 3232에서 시작)에서 그는 쥐 종양의 예 와 유사한 방식으로 (130 페이지에서 시작 하는) 일부 초 우선 밀도 를 선택해야한다고 제안했다 .$p(\alpha, \beta)$

이 모든 것이 분명하지만 너무 오래는 유한 후방 밀도를 생산으로 인정, 나는 연구자들이 과거에이 문제에 사용되는 것을 hyperprior 밀도의 예를 발견하지 않았습니다. Poisson-Gamma 모델을 추정하기 위해 초 우선 밀도를 사용한 책이나 기사를 누군가에게 알려 주면 대단히 감사하겠습니다. 이상적으로, 나는 비교적 평평하고 쥐 종양 사례에서와 같이 데이터에 의해 지배되는 에 관심이 있거나 여러 대안 사양과 각각의 트레이드 오프를 비교하는 토론에 관심이 있습니다.$p(\alpha, \beta)$$p(\alpha, \beta)$

하이퍼 포어를 사용한 책이나 기사를 가리 키지 않고 감마 매개 변수에 대한 이전의 내용을 설명하고 연결하기 때문에 질문에 실제로 대답하지는 않습니다.

먼저 Poisson-Gamma 모델은 가 통합 될 때 매개 변수가 및 음 이항 분포로 이어 집니다. 두 번째 매개 변수는 범위에 있습니다. 유익하지 않게하려면 이전의 Jeffreys 가 적합 할 수 있습니다. 사전에 직접 올리 거나 변수 변경을 통해 다음을 얻을 수 있습니다.$\lambda$$\alpha$$\beta/(1+\beta)$$(0,1)$$p = \beta/(1+\beta)$$p$

$p(\beta) \propto \beta^{-1/2}(1+\beta)^{-1}$

또는 는 감마 분포에 대한 척도 모수이고, 일반적으로 척도 모수 대한 Jeffreys 는 입니다. 이전의 Jeffreys 가 두 모델간에 다르다는 것이 이상 할 수도 있지만 모델 자체는 동일하지 않습니다. 하나는 의 분포입니다 그리고 다른 하나는 . 전자를 선호하는 주장은 클러스터링이 없다고 가정하면 데이터가 실제로 음 이항 분산 되어 있으므로 사전을 및 에 직접 넣는다는 것입니다$\beta$$\beta$$1/\beta$$\beta$$y | \alpha, \beta$$\lambda | \alpha, \beta$$(\alpha, p)$$\alpha$$p$해야 할 일입니다. OTOH, 예를 들어, 각 군집의 관측치가 동일한 갖는 데이터에 군집이있는 경우 실제로 를 모델링해야하기 때문에 를 감마 분포의 척도 모수로 취급 해야합니다. 더 적절한 것 같습니다. (논쟁적인 주제에 대한 나의 생각.)$\lambda$$\lambda$$\beta$

첫 번째 매개 변수는 Jeffreys 이전을 통해 처리 될 수도 있습니다. 각 매개 변수에 대해 Jeffreys 사전을 개발하는 일반적인 기술을 사용하고 두 개의 단일 매개 변수 사전의 곱으로 조인트 (비 Jeffreys)를 형성하는 경우 감마 분포 의 모양 매개 변수 에 대한 사전을 얻습니다. :$\alpha$

$p(\alpha) \propto \sqrt{\text{PG}(1,\alpha)}$

여기서 폴리 감마 함수 입니다. 어색하지만 잘릴 수 있습니다. 이 정보를 위의 Jeffreys 이전 버전과 결합하여 유익한 공동 사전 배포를 얻을 수 있습니다. 감마 스케일 파라미터에 대해 이전 과 결합 하면 감마 파라미터에 대한 기준이됩니다.$\text{PG}(1,\alpha) = \sum_{i=0}^{\infty}(i+\alpha)^{-2}$$1/\beta$

전체 Jeffreys 경로로 가고 감마 매개 변수에 대해 실제 Jeffreys를 형성하려면 다음과 같이됩니다.

$p(\alpha, \beta) \propto \sqrt{\alpha \text{PG}(1,\alpha)-1}/\beta$

그러나 다차원 매개 변수에 대한 Jeffreys의 선행 기술은 종종 수렴 특성뿐만 아니라 열악한 속성을 갖습니다 ( 강의 링크 참조 ). 이것이 감마의 경우인지는 모르겠지만 테스트는 유용한 정보를 제공합니다.

감마에 대한 우선 순위에 대한 자세한 내용은 정보가없는 우선 순위 카탈로그 , Yang 및 Berger 의 13-14 페이지를 참조하십시오 . 다른 배포판도 많이 있습니다. Jeffreys에 대한 개요 및 참조 이전 사항 은 다음과 같은 강의 노트 입니다.