곡선을 피팅 할 때 피팅 된 매개 변수에 대한 95 % 신뢰 구간을 어떻게 계산합니까?

하나의 매개 변수를 추출하기 위해 데이터에 곡선을 맞추고 있습니다. 그러나 그 매개 변수의 확실성이 무엇인지, % 신뢰 구간을 계산 / 표현하는 방법을 잘 모르겠습니다 .$95$

지수 적으로 부패하는 데이터를 포함하는 데이터 세트에 대해 말하면, 각 데이터 세트에 곡선을 맞 춥니 다. 그런 다음 추출하려는 정보는 지수 입니다. 나는 t 의 값과 내가 관심이없는 a 의 값을 알고 있습니다 (즉, 모델링하려고하는 프로세스가 아닌 모집단에서 나온 변수).$b$$t$$a$

이러한 매개 변수에 맞게 비선형 회귀를 사용합니다. 그러나 모든 방법에 대해 % 신뢰 구간 을 계산하는 방법을 모르므로 더 넓은 답변도 환영합니다.$95$

값을 얻은 후에 95 % 신뢰 구간을 어떻게 계산 합니까? 미리 감사드립니다!$b$$95$

선형화 및 선형 회귀 사용의 문제점은 변환 된 데이터에 대해 가우스 잔차 분포 가정이 사실이 아니라는 것입니다.

일반적으로 비선형 회귀를 사용하는 것이 좋습니다. 대부분의 비선형 회귀 프로그램은 가장 적합한 모수의 표준 오차와 신뢰 구간을보고합니다. 그렇지 않으면이 방정식이 도움이 될 수 있습니다.

각 표준 오류는 다음 방정식을 사용하여 계산됩니다.

SE(Pi) = sqrt[ (SS/DF) * Cov(i,i) ]

• Pi : i 번째 조정 가능 (일관되지 않은) 매개 변수
• SS : 잔차 제곱의 합
• DF : 자유도 (데이터 포인트 수에서 회귀에 맞는 매개 변수 수를 뺀 값)
• Cov (i, i) : 공분산 행렬의 i 번째 대각선 요소
• sqrt () : 제곱근

그리고 가장 적합한 값, 표준 오류 및 자유도에서 각 매개 변수에 대한 신뢰 구간을 계산하는 방정식이 있습니다.

From [BestFit(Pi)- t(95%,DF)*SE(Pi)]  TO  [BestFit(Pi)+
 t(95%,DF)*SE(Pi)] 

• BestFit (Pi)는 i 번째 매개 변수에 가장 적합한 값입니다.
• t는 지정된 수의 DF에 대한 95 % 신뢰도에 대한 t 분포의 값입니다.

• DF는 자유도입니다.

  95 % 신뢰도 (그래서 알파 = 0.05) 및 23 자유도에 대한 Excel의 예 : = TINV (0.05,23) DF는 자유도 (데이터 포인트 수에서 회귀에 맞는 매개 변수 수 빼기)와 같습니다.

데이터에 적합한 모델이 있다고 생각되면

$f = ae^{-bt}$

그런 다음 적절한 모델이되도록 응답 데이터를 로그 변환 할 수 있습니다.

$f' = a' -bt$

$f' = ln(f)$$a' = ln(a)$

# Rough simulated data set.
set.seed(1)
a <- 50; b <- 0.2; n <- 25
x <- 1:n
y <- a*(exp(-b * x))
y <- y + rnorm(n, sd=0.25)
y <- ifelse(y>0, y, 0.1)
plot(x,y)

# Linearise:
y2 <- log(y)
plot(x,y2)

# Fit model to transformed data
model <- lm(y2 ~ x)
summary(model)
confint(model)

# Or:
param <- summary(model)$coefficients[, 1]; se <- summary(model)$coefficients[, 2]
param + qt(0.975, 23) * se
param - qt(0.975, 23) * se

$~N(0,\sigma^2)$