감마 대 로그 정규 분포

실험적으로 관찰 된 분포가 감마 또는 대수 정규 분포와 매우 유사 해 보입니다. 로그 정규 분포 는 의 평균과 분산 이 고정 되는 임의의 변형 대한 최대 엔트로피 확률 분포 라는 것을 읽었습니다 . 감마 분포에 비슷한 특성이 있습니까? $X$ $\ln(X)$

pdf gamma-distribution lognormal

— OSE
소스

적절한 모델을 결정할 때 왜 그러한 속성이 가치가 있을까요?

— Glen_b-복지 주 모니카

@Glen_b 통계에 관해서는 여전히 초보자이므로 제 지식은 기본입니다. 감마 및 대수 정규 분포의 음모를 보면 질적으로 보면 매우 유사합니다. 두 가지의 양적 차이를 찾고 있습니다. 예를 들어, 감마 또는 로그 정규 분포가 발생하는 실제 응용 프로그램의 예는 무엇입니까?

— OSE

실제로는 실제로 발생하지 않을 것입니다. 그것들은 때때로 실제의 대략적인 근사치로 유용한 매우 간단한 모델입니다. 나는 질적 차이점에 대해 설명하는 답변을 게시 할 것입니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

@glen_b : 그 통계 만 측정하는 경우 최소 가정 분포는 충분한 통계가있는 지수 군 분포에 고유하기 때문입니다. 어떤 분포가 현실의 열악한 모델 일 수도 있지만, 어떤 측정을 수행 할 것인지 자유롭게 선택할 수 없다면, 이것은 모델을 선택하는 훌륭한 방법입니다.

— Neil G

@Glen_b CLT로 인해 로그 정규 분포가 일부 물리적 상황에 나타나야한다고 생각합니다.

— Stéphane Laurent

답변:

질적 차이에 관해서는, 로그 노멀과 감마는 매우 비슷합니다.

실제로 실제로는 종종 동일한 현상을 모델링하는 데 사용됩니다 (일부 사람들은 감마를 사용하고 다른 사람들은 대수를 사용합니다). 그것들은 예를 들어 변이 계수-변동 모형이다 (대수 정규의 CV는 , 감마의 경우 $\sqrt{e^{\sigma^2} -1}$ ). $1/\sqrt \alpha$

[매개 변수에 의존하면 어떻게 일정 할 수 있습니까? 스케일을 모델링 할 때 적용됩니다 (로그 스케일의 위치). 로그 정규의 경우 는 스케일 파라미터로 작용하지만 감마의 경우 스케일은 형상 파라미터가 아닌 파라미터입니다 (또는 형상 속도 파라미터를 사용하는 경우 역수). 감마 분포 대한 스케일 파라미터를 호출합니다 . 감마 GLM은 일정하게 유지하면서 평균 ( )을 모델링합니다 . 이 경우 도 척도 모수입니다. 와 상수 또는 각각 다른 모델 은 일정한 CV를 갖습니다.] $\mu$ $\beta$ $\mu=\alpha\beta$ $\alpha$ $\mu$ $\mu$ $\alpha$ $\sigma$

로그 의 밀도를 살펴 보는 것이 도움이 될 수 있는데, 이는 종종 매우 명확한 차이를 보여줍니다.

로그 정규 확률 변수의 로그는 ... 정상입니다. 대칭입니다.

감마 랜덤 변수의 로그는 왼쪽으로 치우칩니다. 모양 매개 변수의 값에 따라 기울어 지거나 거의 대칭 일 수 있습니다.

다음은 로그 정규와 감마 모두 평균 1과 분산 1/4을 갖는 예입니다. 상단 그림은 밀도 (녹색 감마, 파란색 로그 정규 파란색)를 나타내고 하단 그림은 로그의 밀도를 보여줍니다.

감마 및 로그 정규, 밀도 및 로그 밀도

(로그 밀도의 로그를 플로팅하는 것도 유용합니다. 즉, 위의 y 축에서 로그 스케일을 취하는 것)

이 차이는 감마가 왼쪽에 꼬리가 많고 오른쪽에 꼬리가 적다는 것을 의미합니다. 로그 정규의 가장 오른쪽 꼬리는 무겁고 왼쪽 꼬리는 더 가볍습니다. 당신은 왜도를 보면 그리고 실제로, 로그 정규 및 감마의, 변화의 주어진 계수를 들어, 로그 정규 더 잘 기울입니다 ( 감마 (보다) ). $\text{CV}^3+3\text{CV}$ $2\text{CV}$

— Glen_b-복귀 모니카
소스

+1. 감마 로그의 왜도에 대한 닫힌 공식이 있는지 알고 있습니까? 로그 정규의 경우, 로그의 왜도는 분명히 0이며, 감마에 대한 표현이 있는지 궁금합니다. 위키 백과는 로그 (감마)의 평균과 분산에 대한 공식을 제공하지만 왜도에 대한 공식은 제공하지 않습니다.

— amoeba는 Reinstate Monica가

\int_{0}^{\infty} x^{ν - 1} e^{- μ x} (\ln x)^{p} d x

$\int_0^\infty x^{\nu-1}e^{-\mu x}(\ln x)^p dx$

p = 2, 3, 4

$p=2,3,4$

p = 1

$p=1$

Γ, ψ

$\Gamma, \psi$

ζ

$\zeta$

p

$p$ 감마 함수의 미분으로서 아마도 더 높아질 가능성이 있습니다. 따라서 왜도는 확실히 가능하지만 특히 "청결"하지는 않습니다. 당신이 그것을 추구하려는 경우 나는 당신에게 적분을 줄 수 있습니다.

— Glen_b-복지 모니카

그러나 부호를 식별하기 위해 왜도를 평가할 필요는 없습니다. 한 쪽이 다른 쪽을 분명히 지배하기 때문에 로그 밀도의 로그를 검사하면 충분합니다.

— Glen_b-복지국 모니카

고마워 글렌. 나는 그것을 새로운 질문으로 게시하기로 결정했습니다 : stats.stackexchange.com/questions/312803 . 나는 준비된 답변을 찾기 위해 시간을 보냈지 만 찾을 수 없었기 때문에 찾기 쉬운 곳에 적어 두는 것이 귀중 할 수 있습니다. Math.SE에는 다소 더 적합 할 수 있지만 솔직히 여기에있는 것을 선호합니다.

— amoeba는 Reinstate Monica가

$E(X)$ $E(\log X)$

이러한 분포를 생성하는 물리적 프로세스에 대한 질문에 대답하려면 : 로그 정규 분포는 X의 로그가 정규 분포 일 때 발생합니다 (예 : X가 매우 작은 요소의 곱인 경우). X가 감마 분포 인 경우 이는 지수로 분산 된 여러 변형의 합입니다. 예를 들어, 포아송 프로세스의 많은 이벤트에 대한 대기 시간입니다.

— 닐 G
소스

"다수"지수 변동이 감마 일 필요는 없습니다.

— Stéphane Laurent