조건부 독립성 및 그래픽 표현 관련

공분산 선택을 연구 할 때 한 번 다음 예제를 읽었습니다. 다음 모델과 관련하여 :

공분산 행렬과 역공 분산 행렬은 다음과 같습니다.

와 y 의 독립성이 왜 역공 분산에 의해 결정 되는지 이해가되지 않습니까?$x$$y$

이 관계의 기본이되는 수학적 논리는 무엇입니까?

또한, 다음 그림의 왼쪽 그래프는 와 y 사이의 독립 관계를 캡처한다고 주장합니다 . 왜?$x$$y$

역 공분산 행렬은 다변량 가우시안 분포에 대한 조건부 분산과 공분산을 계산하는 데 사용할 수 있습니다. 이전 질문은 몇 가지 참조를 제공합니다

$Y$$Z$$X=x$

$$\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{rr} \tfrac32 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & \tfrac12 \end{array} \right)$$

$Y$$Z$$X=x$

$X$$Y$$Z=z$

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$

$X$$Y$$Z=z$$0$$1$

이 제로 조건부 공분산이 조건부 독립성을 의미한다고 결론을 내려면 이것이 다변량 가우시안이라는 사실을 사용해야합니다 (일반적으로 제로 공분산이 반드시 독립성을 의미하지는 않음). 당신은 건설에서 이것을 알고 있습니다.

$\epsilon_1$$\epsilon_2$$Z=z$$X=z+\epsilon_1$$Y=z+\epsilon_2$$Z=z$$X$$Y$

이것은 정답과 인정 된 답변에 대한 보충입니다. 특히, 원래의 질문에는이 책의 진술에 대한 후속 질문이 포함되어 있습니다.

$X$$Y$

이것이이 답변에서 다뤄지는 것이며이 답변에서 다뤄지는 유일한 것입니다.

우리가 같은 페이지에 있는지 확인하기 위해 다음에 나는 Markov 랜덤 필드에 해당하는 ( 무 방향) 조건부 독립 그래프 의이 정의를 사용 합니다.

$X$$G=(K,E)$$K=\{ 1, 2, \dots, k \}$$(i,j)$$X_i \perp \! \! \! \perp X_j | X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_i$$X_j$

p.에서 60의 Whittaker, 응용 수학 다변량 통계 그래픽 모델 (1990).

$X$$Y$$Z$$X \perp \! \! \perp Y \ | Z$

$X, Y$$Z$$X$$Y$$Z$

$X$$Y$

왼쪽 그래프에 대해서는 더 많은 컨텍스트가 없어도 명확하지 않지만 , 역공 분산 행렬의 항목에 0 이 없으면 조건부 독립성 그래프가 어떻게 보이는지 보여주는 아이디어라고 생각합니다 .

$X, Y, Z$