부트 스트랩 샘플의 샘플 평균 차이

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허락하다 $X_{1},...,X_{n}$ 별개의 관찰 (타이 없음)이어야합니다. 허락하다 $X_{1}^{*},...,X_{n}^{*}$ 부트 스트랩 샘플 (경험적 CDF의 샘플)을 표시하고 $\bar{X}_{n}^{*}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*}$ . 찾기 $E(\bar{X}_{n}^{*})$ 과 $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})$ .

내가 지금까지 가지고있는 것은 $X_{i}^{*}$ 이다 $X_{1},...,X_{n}$ 각각 확률로 $\frac{1}{n}$ 그래서

이자형 ({엑스}_{나는}^{※}) = \frac{1}{엔} 이자형 ({엑스}_{1}) + . . . + \frac{1}{엔} 이자형 ({엑스}_{엔}) = \frac{엔 μ}{엔} = μ

$E(X_{i}^{*})=\frac{1}{n}E(X_{1})+...+\frac{1}{n}E(X_{n})=\frac{n\mu}{n}=\mu$ 과

이자형 ({엑스}_{나는}^{※ 2}) = \frac{1}{엔} 이자형 ({엑스}_{1}^{2}) + . . . + \frac{1}{엔} 이자형 ({엑스}_{엔}^{2}) = \frac{엔 (μ^{2} + σ^{2})}{엔} = μ^{2} + σ^{2},

$E(X_{i}^{*2})=\frac{1}{n}E(X_{1}^{2})+...+\frac{1}{n}E(X_{n}^{2})=\frac{n(\mu^{2}+\sigma^{2})}{n}=\mu^{2}+\sigma^{2}\>,$ 어느 것이

V ㅏ 아르 자형 ({엑스}_{나는}^{※}) = 이자형 ({엑스}_{나는}^{※ 2}) - (이자형 ({엑스}_{나는}^{※}))^{2} = μ^{2} + σ^{2} - μ^{2} = σ^{2} .

$\mathrm{Var}(X_{i}^{*})=E(X_{i}^{*2})-(E(X_{i}^{*}))^{2}=\mu^{2}+\sigma^{2}-\mu^{2}=\sigma^{2} \>.$

그때,

이자형 ({\bar{엑스}}_{엔}^{※}) = 이자형 (\frac{1}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} {엑스}_{나는}^{※}) = \frac{1}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} 이자형 ({엑스}_{나는}^{※}) = \frac{엔 μ}{엔} = μ

$E(\bar{X}_{n}^{*})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{*})=\frac{n\mu}{n}=\mu$ 과

V ㅏ 아르 자형 ({\bar{엑스}}_{엔}^{※}) = V ㅏ 아르 자형 (\frac{1}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} {엑스}_{나는}^{※}) = \frac{1}{엔^{2}} \sum_{나는 = 1}^{엔} V ㅏ 아르 자형 ({엑스}_{나는}^{※})

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\mathrm{Var}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(X_{i}^{*})$ 이후

X_{i}^{*}

$X_{i}^{*}$ 독립적입니다. 이것은 준다

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = \frac{n σ^{2}}{n^{2}} = \frac{σ^{2}}{n}

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{n\sigma^{2}}{n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}$

그러나 조건을 설정해도 같은 대답을 얻지 못합니다. $X_{1},\ldots,X_{n}$ 조건부 분산에 대한 공식을 사용하십시오.

V ㅏ 아르 자형 ({\bar{엑스}}_{엔}^{※}) = 이자형 (V ㅏ 아르 자형 ({\bar{엑스}}_{엔}^{※} | {엑스}_{1}, . . ., {엑스}_{엔})) + V ㅏ 아르 자형 (이자형 ({\bar{엑스}}_{엔}^{※} | {엑스}_{1}, \dots, {엑스}_{엔})) .

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=E(\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},...,X_{n}))+\mathrm{Var}(E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})) \>.$

$E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\bar{X}_{n}$ 과 $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\frac{1}{n^{2}}(\sum X_{i}^{2}-n\bar{X}_{n}^{2})$ 위의 수식에 연결하면 (대수 후에) $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{(2n-1)\sigma^{2}}{n^{2}}$ .

내가 여기서 잘못하고 있습니까? 내 조건은 조건부 분산 수식을 올바르게 사용하지 않지만 확실하지 않다는 것입니다. 도움을 주시면 감사하겠습니다.

— rrruss
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V (E (X | X1..Xn))가 올바르게 계산되지 않았을 수 있습니다. 대답은 같아야합니다.

당신은 아마 옳을 지 모르지만이 대답은별로 유익하지 않은 것 같습니다. 어쩌면 어느 부분이 잘못되었는지 지적 할 수 있습니까?

— whuber

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정답은 $\frac{n-1}{n^2}S^2$ . 해결책은 여기 # 4입니다

— 그렉
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4

답이 늦었을 수도 있지만 계산에 잘못된 것은 다음과 같습니다. 무조건 부트 스트랩 샘플이 iid 라고 가정했습니다 . 이것은 거짓입니다. 샘플에 조건부, 부트 스트랩 샘플은 실제로 iid이지만 무조건 독립성을 잃습니다 (그러나 여전히 똑같이 분포 된 무작위 변수가 있습니다). 이것은 본질적으로 Larry Wasserman의 연습 13입니다 . 모든 비모수 통계 입니다.

— M 터전
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