독립을 위해 관절 MGF에서 필요하고 충분한 상태

CDF 를 사용한 관절 분포에 대한 관절 모멘트 생성 함수 가 있다고 가정 합니다. 가요 둘 필요 충분한 의 독립 조건 및 ? 필자는 몇 가지 교과서를 확인했는데 필요한 내용 만 언급 했습니다.F X , Y ( x , y ) M X , Y ( s , t ) = M X , Y ( s , 0 ) ⋅ M X , Y ( 0 , t $M_{X,Y}(s,t)$$F_{X,Y}(x,y)$$M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$X$$Y$

$$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$$

독립성이 암시하므로 그 결과는 분명합니다 . 한계의 MGF는 우리가 가진 공동 MGF에 의해 결정되므로 :$M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

$$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$

그러나 온라인으로 검색 한 후 나는 증거없이 증거를 찾을 수 없었습니다 . 다음 스케치 증명이 가능한가요?

공동 MGF 주어지면 , 이것은 와 와 MGF 의 한계 분포 과 입니다. 한계 값만으로도 가능한 많은 다른 관절 분포와 호환되며 CDF 하여 와 가 독립적 인 관절 분포를 고유하게 결정합니다. 및 MGF :X Y M X ( s ) = M X , Y ( s , 0 ) M Y ( t ) = M X , Y ( 0 , t ) X Y F ind X , Y ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ $M_{X,Y}(s,t)$$X$$Y$$M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$$M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$$X$$Y$$F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

$$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$

우리는 주어진 그렇다면, 우리의 원래 MGF를 들어, 그게 ,이입니다 를 표시하기에 충분합니다 . 그런 다음 MGF의 불일치로 인해 원래의 공동 분포는 와 와 는 독립적입니다.M X , Y ( s , t ) = M ind X , Y ( s , t ) F X , Y ( x , y ) = F $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$X$F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$$X$$Y$

그렇습니다. 두 개의 임의 변수뿐만 아니라 (무한한) 임의의 변수에 대한 독립성을 위해 필요하고 충분한 조건입니다. Rinaldo B. Schinazi의 통계 응용 프로그램 의 확률 242 페이지에있는 P.2를 확인하십시오 . 또는 확률 생성 기능을 기반으로하는 카운트 데이터 의 측량 분석의 259 페이지를 참조하십시오 . "순간 생성 기능이 항상 존재하는 것은 아닙니다".