rand () ^ 2의 분포가 rand () * rand ()와 다른 이유는 무엇입니까?

Libre Office Calc에서는 rand()균일 분포에서 0과 1 사이의 임의의 값을 선택하는 기능을 사용할 수 있습니다. 나는 내 확률이 약간 녹슬 기 때문에 다음과 같은 행동을 보았을 때 당황했다.

A = 200x1 열 rand()^2

B = 200x1 열 rand()*rand()

mean(A) = 1/3

mean(B) = 1/4

왜 mean(A)! = 1/4입니까?

expected-value random-generation uniform

— 제 토피아
소스

랜덤 변수의 제곱에 대한 기대치가 기대 한 제곱과 같지 않기 때문입니다.

— Michael M

rand()다른 유사한 연산자처럼 작동하는 경우 A는 동일한 난수 제곱이고 B는 두 개의 난수입니다.

— Peter Flom-Monica Monica 복원

이해 했어요. 수학의 철자가 보이거나 이것을 수행하는 리소스에 연결된 것을 볼 수 있다면 매우 도움이 될 것입니다.

— Jefftopia

상황을 단순화하면 요점을 파악하는 데 도움이 될 수 있습니다. 다음과 같이 Rand()대체되었다고 가정 합니다 Int(2*Rand()). 이는 동일한 확률로

과

값을받습니다 . 제곱에 대한 두 가지 가능성과 두 개의 (독립된) 값의 곱에 대한 네 가지 가능성이 있습니다. 기대치를 달성하면 어떻게됩니까?

0

$0$

1

$1$

— whuber

답변:

사각형을 생각하면 도움이 될 수 있습니다. 무료로 땅을 얻을 수있는 기회가 있다고 상상해보십시오. 토지의 크기는 (a) 랜덤 변수의 하나의 실현 또는 (b) 동일한 랜덤 변수의 두 가지 실현에 의해 결정될 것이다. 첫 번째 경우 (a)에서 면적은 측면 길이가 샘플링 된 값과 같은 정사각형이됩니다. 두 번째 경우 (b)에서 샘플링 된 두 값은 사각형의 너비와 길이를 나타냅니다. 어떤 대안을 선택 하시겠습니까?

양의 랜덤 변수의 실현으로 하자 . $\mathbf{U}$

a) 하나의 실현 의 기대 값은 동일한 제곱의 면적을 결정합니다 . 평균적으로 면적의 크기는 $\mathbf{U}$ $\mathbf{U}^2$

E [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

b) 두 개의 독립적 실현 과 경우, 면적은 입니다. 평균적으로 크기는 와 같습니다. 두 실현은 모두 동일한 분포에서 독립적이기 때문입니다. $\mathbf{U}_1$ $\mathbf{U}_2$ $\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2$

E [U_{1} \cdot U_{2}] = E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2] = \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

영역 a)와 b)의 크기 차이를 계산하면

E [U^{2}] - E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

상기 용어는 본질적으로 보다 크거나 같은 와 동일하다 . $\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}]$ $0$

이것은 일반적인 경우에 해당됩니다.

귀하의 예에서는 균일 분포 에서 샘플링했습니다 . 그 후, $\mathcal{U}(0,1)$

E [U] = \frac{1}{2}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{2}$

E^{2} [U] = \frac{1}{4}

$\mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}] = \frac{1}{4}$

V a r [U] = \frac{1}{12}

$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{12}$

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] + \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

E [U^{2}] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$

이 값은 분석적으로 도출되었지만 난수 생성기로 얻은 값과 일치합니다.

— 스벤 호헨 슈타인
소스

a

$a$

b

$b$

\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{3}

$\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$

그것은 영리한 분산 사용법입니다. 그리고 여기에 수학을 직접 쏟아 부었습니다.

— 아핀

이것은 나에게 의미가 있습니다. 그것은 모두 음이 아닌 분산에 달려 있습니다. 또한 John이 어떻게 대답했는지 궁금합니다.

— Jefftopia

기본적으로 Sven이 한 일을 따르지만 더 일반적인 균일 분포를위한 공식으로 대체했습니다.

— John

E [U^{2}] - E [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

E [U^{2}] - E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

Sven의 탁월한 답변에서 부족한 점이 있음을 제안하지는 않지만 상대적으로 초등적인 질문을 제시하고 싶었습니다.

관절 분포가 매우 다른지 확인하기 위해 각 제품의 두 성분을 플로팅하는 것을 고려하십시오.

u1 vs u2 및 u1 vs u1의 플롯

두 구성 요소가 모두 크면 제품의 크기가 1 (거의 1) 만되는 경향이 있으며, 이는 두 구성 요소가 독립적이지 않고 완벽하게 상관되어있을 때 훨씬 쉽게 발생합니다.

$1-\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon/2$ $U^2$ $U_1\times U_2$ $\epsilon^2/2$

큰 차이!

위의 그래프와 같은 그래프에 아이소 제품 등고선을 그리는 데 도움이 될 수 있습니다. 즉, xy = 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9와 같은 값에 대해 일정한 곡선 더 큰 값으로 갈수록 윤곽의 위와 오른쪽에있는 점의 비율이 독립된 경우 훨씬 더 빨리 내려갑니다.

— Glen_b-복귀 모니카
소스