t- 분포 밀도 함수의 직관

학생의 t- 분포에 대해 공부하고 있는데 t- 분포 밀도 함수를 어떻게 도출 할 수 있을지 궁금해지기 시작했습니다 (wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution ).

여기서 는 자유도이고 는 감마 함수입니다. 이 기능의 직관은 무엇입니까? 이항 분포의 확률 질량 함수를 보면 나에게 의미가 있습니다. 그러나 t- 분포 밀도 함수는 전혀 이해가되지 않습니다. 아니면 종 모양의 곡선이 있고 우리의 요구에 부응한다는 직관입니까?$v$$\Gamma$

어떤 도움을 위해 Thnx :)

표준 정규 랜덤 변수 와 df를 갖는 독립 카이-제곱 랜덤 변수 있는 경우Q $Z$$Q$$\nu$

$T = Z/\sqrt{Q/\nu}$

갖는다 가진 분배 DF한다. ( 가 무엇 으로 배포 되는지 잘 모르겠지만 는 아닙니다 .)ν Z / Q $t$$\nu$$Z/Q$$t$

실제 파생은 상당히 표준적인 결과입니다. Alecos는 여기서 몇 가지 방법을 사용 합니다 .

직관이 진행되는 한, 특정 기능 형태에 대한 특별한 직관은 없지만 분모에 대한 독립적 인 chi-distribution 이 ( 스케일링 됨) 고려하여 모양의 일반적인 감각을 얻을 수 있습니다. 비스듬한:$\sqrt \nu$

이 모드는 1보다 약간 낮지 만 (df가 증가함에 따라 1에 가까워짐) 약간의 값이 실질적으로 1보다 크거나 작습니다. 의 변동은 의 분산 이 의 . 의 값 실질적으로 상기 1가 이어질 것이다 - 값보다도 0에 가까울 있다는 대략 1 아래의 것들을 초래 반면, 인 - 값보다도 0으로부터 상기 있다는 이다. tZ$\sqrt{Q/\nu}$$t$$Z$ tZt$\sqrt{Q/\nu}$$t$$Z$$t$$Z$

이 모든 것은 값이 (i) 더 가변적이며, (ii) 정상보다 상대적으로 더 정점이 높고 (iii) 더 무겁다는 것을 의미합니다. df가 증가함에 따라 는 1 주위로 집중되고 는 정상에 더 가깝습니다.$t$$\sqrt{Q/\nu}$$t$

( '상대적으로 더 높은 피크'는 스프레드에 비해 약간 더 높은 피크를 생성하지만 분산이 클수록 중심이 아래로 당겨 져서 df가 낮을수록 피크가 약간 낮아집니다)

이것이 왜 가 그렇게 보이는지 에 대한 직관 입니다.$t$

Glen의 대답은 정답이지만 베이지안 관점에서 t- 분포를 다른 분산을 갖는 정규 분포의 연속 혼합으로 생각하면 도움이됩니다. 여기서 파생을 찾을 수 있습니다.

가우스 혼합으로 학생 t

이 접근 방식은 모집단의 정확한 변동성을 모르는 경우 t- 분포가 발생하는 방식을 명확히하기 때문에 직관에 도움이된다고 생각합니다.