exp (X) ~ Gamma 인 경우 X를 빠르게 샘플링하는 방법?

내부 루프가 다음과 같은 간단한 샘플링 문제가 있습니다.

v = sample_gamma(k, a)

여기서 sample_gamma감마 분포의 샘플은 Dirichlet 샘플을 형성합니다.

잘 작동하지만 일부 k / a 값의 경우 일부 다운 스트림 계산 언더 플로가 있습니다.

로그 공간 변수를 사용하도록 조정했습니다.

v = log(sample_gamma(k, a))

나머지 모든 프로그램을 조정 한 후에는 올바르게 작동합니다 (적어도 테스트 케이스에서 동일한 결과를 얻습니다). 그러나 이전보다 느립니다.

와 같은 느린 함수를 사용하지 않고 를 직접 샘플링하는 방법이 있습니까? 나는 이것을 인터넷 검색을 시도했지만이 배포판에 공통 이름 (log-gamma?)이 있는지조차 알지 못한다.로그 ( $X, \exp(X) \sim \text{Gamma}$$\log()$

과 같이 0 근처 의 작은 모양 매개 변수 고려하십시오 . 0에서 사이의 범위 에서 는 대략 이므로 감마 pdf는 대략 입니다. 이것은 대략적인 CDF, 있습니다. 그것을 뒤집 으면, power : 거대한 지수 가 보입니다 . 를 들어 (이하 이중 정밀도 값이 언더 플로우의 일부 기회의 원인 더 이하). 다음은 밑이 10 인 로그의 함수로 언더 플로가 발생할 가능성에 대한 그림입니다.α = 1 / 100 α E - α 1 X α - (1) (D) X / Γ ( α ) F α ( X ) = X $\alpha$$\alpha = 1/100$$\alpha$$e^{-\alpha}$$1$$x^{\alpha-1}dx / \Gamma(\alpha)$ 1/αα=1/10010-300$F_\alpha(x) = \frac{x^\alpha}{\alpha \Gamma(\alpha)}$$1/\alpha$$\alpha = 1/100$$10^{-300}$$\alpha$ :

한 가지 해결책은 log (Gamma) 변이를 생성하기 위해이 근사법을 이용하는 것입니다. 사실상, 감마 변이를 생성하려고 시도하고 너무 작 으면이 근사 전력 분포에서 로그를 생성하십시오 (아래 참조). 로그가 언더 플로 범위 내에있을 때까지이 작업을 반복해서 수행하면 원래 언더 플로 잉 변수를 대신 할 수 있습니다. Dirichlet 계산의 경우 각 로그 값에서 모든 로그의 최대 값을 뺍니다. 감마는 변하므로 Dirichlet 값에 영향을 미치지 않습니다. 너무 작은 결과 로그 (예 : -100 미만)는 모두 0의 로그로 취급하십시오. 다른 로그를 지수화하십시오. 이제 언더 플로없이 진행할 수 있습니다.

이것은 이전보다 훨씬 오래 걸릴 것이지만 최소한 작동합니다!

모양 매개 변수가 인 근사 로그 감마 변이를 생성하려면 사전 계산 입니다. log 감마의 값을 직접 계산 하는 알고리즘이 있기 때문에 이것은 쉽다 . 0과 1 사이의 균일 한 랜덤 유동을 생성하여 로그 분열을 및 추가 그것에.C = 로그 ( Γ ( α ) ) + 로그 ( α ) α $\alpha$$C = \log(\Gamma(\alpha)) + \log(\alpha)$$\alpha$$C$

척도 모수는 단지 변량의 척도를 재조정하기 때문에 이러한 절차에서 수용하는 데 아무런 문제가 없습니다. 모든 스케일 매개 변수가 동일한 경우에는 필요하지 않습니다.

편집하다

또 다른 대답에서 OP 는 균일 변량 ( 변량) 의 power에 변량을 곱하는 방법을 설명합니다 . 이 두 변수의 합동 분포의 pdf가 . PDF를 찾는 방법은 우리 대체 코빈 의해 제산 , 아웃 통합 . 이므로 적분은 에서 사이 여야합니다 .$1/\alpha$$B(\alpha)$$\Gamma(\alpha+1)$$\left(\alpha x^{\alpha-1}\right) \left(y^{\alpha}e^{-y}dy/\Gamma(\alpha+1)\right)$$z = xy$$y \to z/x$$x$$x$$z$$\infty$$0 \le y \le 1$

이것은 분포 의 pdf입니다 .$\Gamma(\alpha)$

요점은 일 때 에서 가져온 값 은 언더 플로되지 않을 것이고 로그와 곱하기 독립적 인 균일 한 변이의 로그를 합하면 변수 의 로그를 갖습니다 . 로그는 매우 부정적 일 수 있지만 부동 소수점 표시에서 언더 플로 될 안티 로그의 구성을 무시했습니다.$0 \lt \alpha \lt 1$$\Gamma(\alpha+1)$$1/\alpha$$\Gamma(\alpha)$

나는 내 자신의 질문에 대답하고 있지만 완전히 이해하지 못하더라도 꽤 좋은 해결책을 찾았습니다. 는 GNU 과학 도서관의 코드를 보면, 여기 샘플 감마 변수 (어떻게 r난수 발생기입니다 a입니다 하고 있다 ) :$\alpha$b$\beta$

  if (a < 1)
    {
      double u = gsl_rng_uniform_pos (r);
      return gsl_ran_gamma (r, 1.0 + a, b) * pow (u, 1.0 / a);
   }

gsl_ran_gamma동안 (상기 있도록 재귀 호출이다) 감마 무작위 샘플을 반환하는 함수이다 gsl_rng_uniform_pos에서 균일하게 분포 된 다수 복귀 ((가) 가 0.0를 반환하지 보장 엄격히 포지티브된다).$(0,1)$_pos

따라서 마지막 표현의 로그를 가져 와서 사용할 수 있습니다.

return log(gsl_ran_gamma(r, 1.0 + a, b)) + log(u)/a;

내가 원하는 것을 얻으려면. 이제 두 번의 log()호출이 pow()있지만 결과는 더 좋을 것입니다. 전에 whuber가 지적했듯이, 나는 의 거듭 제곱을 일으켰습니다 . 이제 로그 공간에서 곱하고 있습니다. 따라서 언더 플로 가능성이 적습니다.1 /$1/a$$1/a$