확률과 PDF의 비율

클러스터링 문제를 해결하기 위해 Bayes를 사용하고 있습니다. 몇 가지 계산을 한 후 두 확률의 비율을 구해야합니다.

P (A) / P (B)

$P(A)/P(B)$

를 얻을 수 있습니다 . 이 확률은 이 답변 에서 설명한 것처럼 두 개의 다른 2D 다변량 KDE를 통합하여 얻습니다 . $P(H|D)$

P (A) = \iint_{x, y : \hat{f} (x, y) < \hat{f} (r_{a}, s_{a})} \hat{f} (x, y) d x d y

$P(A) = \iint_{x, y : \hat{f}(x, y) < \hat{f}(r_a, s_a)} \hat{f}(x,y)\,dx\,dy$

P (B) = \iint_{x, y : \hat{g} (x, y) < \hat{g} (r_{b}, s_{b})} \hat{g} (x, y) d x d y

$P(B) = \iint_{x, y : \hat{g}(x, y) < \hat{g}(r_b, s_b)} \hat{g}(x,y)\,dx\,dy$

여기서, 와 KDEs하고 통합이 임계 값 이하의 모든 점을 수행 및 . 두 KDE 모두 가우시안 커널을 사용합니다 . 내가 작업하고있는 것과 비슷한 KDE의 대표적인 이미지는 여기에서 볼 수 있습니다 : 2D에 커널 밀도 추정기 통합 . $\hat{f}(x, y)$ $\hat{g}(x, y)$ $\hat{f}(r_a, s_a)$ $\hat{g}(r_b, s_b)$

stats.gaussian_kdepython 함수 를 사용하여 KDE를 계산 하므로 다음과 같은 일반적인 형식을 가정합니다.

K D E (x, y) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} - \frac{1}{2 h^{2}} e^{- \frac{(x - x_{i})^{2} + (y - y_{i})^{2}}{2 h^{2}}}

$KDE(x,y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} -\frac{1}{2h^2} e^{-\frac{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2}{2h^2}}$

여기서 n내 배열의 길이는 h사용 된 대역폭입니다.

위의 적분은 계산 비용이 많이 드는 Monte Carlo 프로세스를 적용하여 계산됩니다. 나는 이런 경우 확률의 비율을 임계점에서 평가 된 PDF (KDE)의 비율로 대체하여 동일한 결과를 얻을 수 있다는 것을 읽었습니다. KDE 비율을 계산하는 것이 MC와의 적분 비율을 계산하는 것보다 훨씬 빠르기 때문에 이것에 관심이 있습니다.

따라서 질문은이 표현의 유효성으로 축소됩니다.

\frac{P (A)}{P (B)} = \frac{\hat{f} (r_{a}, s_{a})}{\hat{g} (r_{b}, s_{b})}

$\frac{P(A)}{P(B)} = \frac{\hat{f}(r_a, s_a)}{\hat{g}(r_b, s_b)}$

어떤 상황에서이 관계가 사실이라고 말할 수 있습니까?

[고정 된 오타 (EDIT)]

추가 :

여기 기본적으로 더 만들어 같은 질문하지만 수학적 형태.

— 가브리엘
소스

r_{a, b}, s_{a, b}

$r_{a,b}, s_{a,b}$

나는 Mills Ratio 이 관련이 있다고 생각 합니다.

— whuber

@ whuber의 비율은 분명히 내가 P(X)계산하지 않으려는 값을 알고 있어야합니다 . 해당 매개 변수의 관련성을 약간 확장 할 수 있습니까?

— Gabriel

KDE는 정규 분포의 혼합입니다. 그것들 중 하나를 봅시다.

$P(A)$ $P(B)$ $f$

f (x, y) \leq f (r, s)

$f(x,y) \le f(r,s)$

에 해당

x^{2} + y^{2} \geq r^{2} + s^{2} .

$x^2 + y^2 \ge r^2 + s^2.$

$\rho, \theta$

P (r, s) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \int_{\sqrt{r^{2} + s^{2}}}^{\infty} ρ \exp (- ρ^{2} / 2) d ρ d θ = \exp (- (r^{2} + s^{2}) / 2) = 2 π f (r, s) .

$P(r,s) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_\sqrt{r^2+s^2}^\infty \rho \exp(-\rho^2/2) d\rho d\theta= \exp(-(r^2+s^2)/2) = 2\pi f(r,s).$

이제 혼합물을 고려하십시오. 선형이기 때문에

\begin{aligned} P (r, s) & = \frac{1}{n} \sum_{i} 2 π f ((r - x_{i}) / h, (s - y_{i}) / h) \\ = 2 π h^{2} (\frac{1}{n} \sum_{i} \frac{1}{h^{2}} f ((r - x_{i}) / h, (s - y_{i}) / h)) \\ = 2 π h^{2} K D E (r, s) . \end{aligned}

$\eqalign{ P(r,s) &= \frac{1}{n}\sum_i 2\pi f((r-x_i)/h, (s-y_i)/h) \\ &= 2\pi h^2\left(\frac{1}{n}\sum_i \frac{1}{h^2} f((r-x_i)/h, (s-y_i)/h)\right) \\ &=2\pi h^2 KDE(r,s). }$

$f$ $P$ $2\pi h^2$

$P$ $f$ $f_1$ $A_1$ $f_2$ $A_2$ $A_1$ $\mu\gt 1$ $f=f_1/2 + f_2/2$ $1/2$ $A_1$ $1/(2\mu)$ $A_2$

$(r,s)\in A_1$ $f(r,s)=1/2$ $P(r,s)=1$ $f(r,s)/P(r,s) = 1/2$
$(r,s)\in A_2$ $f(r,s)$ $1/2$ $0$ $A_1$ $1/2$ $f(r,s)/P(r,s) = (1/(2\mu))/(1/2) = 1/\mu$
$f$ $P$

$1$ $1/\mu \ne 1$ $(0,\Sigma)$ $\Sigma$ $f/P$ $[1,1/\mu]$

$P$ $f$ $P$ $\chi^2(2)$ $f$ $P$ 비례해야합니다.

— 우버
소스

이것은 엄청나게 답변 whuber입니다, 정말 감사합니다. 여기에 작성한 모든 것을 완전히 처리하는 데 시간이 걸리지 만 계산을 완전히 신뢰하므로 질문이 해결 된 것으로 표시되었습니다. 건배.

— Gabriel