충분한 통계, 특성 / 직관 문제

나는 재미에 대한 몇 가지 통계를 가르치고 있으며 충분한 통계 에 대해 약간의 혼란이 있습니다. 혼동을 목록 형식으로 작성하겠습니다.

1. 분포에 모수가있는 경우 충분한 통계가 있습니까?$n$$n$

2. 충분한 통계와 매개 변수간에 직접적인 대응이 있습니까? 또는 충분한 통계가 "정보"풀 역할을하여 설정을 다시 만들 수 있으므로 기본 분포의 모수에 대해 동일한 추정값을 계산할 수 있습니다.

3. 모든 분포에 충분한 통계가 있습니까? 즉. 인수 분해 정리가 실패 할 수 있습니까?

4. 데이터 표본을 사용하여 데이터가 가장 많이 나온 분포를 가정 한 다음 분포 모수에 대한 추정치 (예 : MLE)를 계산할 수 있습니다. 충분한 통계는 데이터 자체에 의존하지 않고도 매개 변수에 대해 동일한 추정치를 계산할 수있는 방법입니다.

5. 충분한 통계 세트가 모두 최소 통계를 갖습니까?

이것은 주제 문제를 이해하기 위해 사용하는 자료입니다 : https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/283

내가 이해 한 것에서 우리는 합동 분포를 두 함수로 분리하는 인수 분해 이론을 가지고 있지만 분포를 함수로 인수 분해 한 후 충분한 통계량을 추출 할 수있는 방법을 이해하지 못합니다.

1. 이 예에서 주어진 포아송 문제는 분명한 인수 분해를 가졌지 만 충분한 통계는 표본 평균과 표본 합계라고 명시했습니다. 첫 번째 방정식의 형태를 살펴 보는 것만으로도 통계가 충분하다는 것을 어떻게 알 수 있었습니까?

2. 인수 분해 결과의 두 번째 방정식이 때때로 데이터 값 자체 에 의존하는 경우 충분한 통계를 사용하여 동일한 MLE 추정을 수행하는 방법은 무엇입니까? 예를 들어 포아송의 경우 두 번째 함수는 데이터 계승의 곱의 역수에 의존하며 더 이상 데이터를 가지지 않습니다!$X_i$

3. 웹 페이지 의 포아송 예제와 관련하여 왜 표본 크기 이 충분한 통계가되지 않습니까? 우리는 n 이 첫 번째 함수의 특정 부분을 재구성 해야 하므로 왜 통계가 충분하지 않습니까?$n$$n$

이론적 통계에 관한 모든 교과서에서 충분하다는 내용을 읽으면 도움이 될 것입니다. 이러한 질문의 대부분은 자세히 다룰 것입니다. 간단히 ...

1. 반드시 그런 것은 아닙니다. 지원 (데이터가 취할 수있는 값의 범위)이 알려지지 않은 모수에 의존하지 않는 분포의 경우, 지수 패밀리의 것만 수와 동일한 차원의 통계량을 갖습니다. 매개 변수. 따라서 독립 관측치에서 Weibull 분포의 모양 및 척도 또는 로지스틱 분포의 위치 및 척도를 추정하기 위해 순서 통계 (시퀀스를 무시하는 전체 관측치 집합)는 최소 수준입니다. 손실없이 더 이상 줄일 수는 없습니다. 매개 변수에 대한 정보. 지지가 알려지지 않은 매개 변수에 의존하는 경우, 그것은 변한다 : 의 균일 분포의 경우 , 최대 값은 θ에 충분하다$(0,\theta)$$\theta$; 에 균일 한 분포를 위해서는 표본 최소값과 최대 값이 함께 충분합니다.$(\theta-1,\theta+1)$

2. "직접 서신"이란 무엇을 의미하는지 모르겠습니다. 당신이 제공하는 대안은 충분한 통계를 설명하는 공정한 방법으로 보입니다.

3. 예 : 데이터 전체가 충분합니다. (누군가 충분한 통계가 없다고 말하는 소리가 들리면 저 차원이 없다는 의미입니다.)

4. 그렇습니다. (남은 것 (충분한 통계에 대한 조건부 데이터 분포)은 알 수없는 매개 변수와 독립적으로 분포 가정을 확인하는 데 사용할 수 있습니다.)

5. 분명히, 반대의 예를 모아 보았지만 실제로 사용하려는 분포는 아닙니다. [측정 이론에 너무 많이 들어 가지 않고 누군가가 이것을 설명 할 수 있다면 좋을 것이다.]

추가 질문에 대한 답변으로 ...

1. 첫 번째 요인은 에 의존 λ 통해서만 Σ는 X I를 . 그래서 임의 의 일대일 함수 Σ는 X 제가 충분 : Σ는 X I를 , Σ는 X I를 / N , ( Σ는 X I를 ) 2 ^† , 등등.$\mathrm{e}^{-n\lambda}\cdot\lambda^{\sum{x_i}}$$\lambda$$\sum x_i$$\sum x_i$$\sum x_i$$\sum x_i/n$$(\sum x_i)^2$

2. 두 번째 요소, $\tfrac{1}{x_1! x_2! \ldots x_n!}$$\lambda$$\lambda$$f(x;\lambda)$

3. $n$

$\sum x_i$

$n$ $N$$(\sum x_i,n)$$n$$\theta$$\sum x_i$