단측 체비 쇼프 불평등의 표본 버전이 존재합니까?

나는 다음과 같은 단면 Cantelli의 Chebyshev 불평등에 관심이 있습니다 .

P (X - E (X) \geq t) \leq \frac{V a r (X)}{V a r (X) + t^{2}} .

$\mathbb P(X - \mathbb E (X) \geq t) \leq \frac{\mathrm{Var}(X)}{\mathrm{Var}(X) + t^2} \,.$

기본적으로 모집단 평균과 분산을 알고 있으면 특정 값을 관찰 할 확률의 상한을 계산할 수 있습니다. (최소한 나의 이해였습니다.)

그러나 실제 모집단 평균 및 분산 대신 샘플 평균 및 샘플 분산을 사용하고 싶습니다.

나는 이것이 더 많은 불확실성을 초래할 것이기 때문에 상한이 증가 할 것이라고 추측하고 있습니다.

위와 비슷한 불평등이 있습니까?하지만 샘플 평균과 분산을 사용합니까?

편집 : 체비 쇼프 불평등 (일방이 아님)의 "샘플"아날로그가 해결되었습니다. 위키 백과 페이지는 몇 가지 세부 사항이 있습니다. 그러나 나는 그것이 내가 가지고있는 한 가지 사례로 어떻게 번역 될지 잘 모르겠습니다.

— 카산드라
소스

감사합니다 Glen_b. 꽤 흥미로운 문제입니다. 나는 항상 체비 쇼프 불평등이 강력하다고 생각했습니다 (확률 분포를 요구하지 않고 통계적 추론을 할 수 있기 때문에). 샘플 평균 및 분산과 함께 사용할 수 있다는 것은 정말 대단합니다.

— casandra

답변:

예, 표본 평균과 분산을 사용하여 유사한 결과를 얻을 수 있습니다.이 과정에서 몇 가지 놀라운 결과가 나타날 수 있습니다.

먼저, 질문 내용을 약간 수정하고 몇 가지 가정을 설정해야합니다. 중요한 것은, 우리가 함께 인구 분산을 대체 할 수 있도록 노력하겠습니다 수 없음을 분명히해야 샘플 후자이기 때문에 오른쪽에 분산 임의 ! 따라서 우리는 등가 불평등 주의를 집중시킵니다. 이것이 동등하다는 것이 확실하지 않은 경우,일반 불평등없이 원래의 불평등에서 를 로 간단히 대체했다는 점에 유의하십시오.

P (X - E X \geq t σ) \leq \frac{1}{1 + t^{2}} .

$\mathbb P\left( X - \mathbb E X \geq t \sigma \right) \leq \frac{1}{1+t^2} \>.$

t

$t$

t σ

$t \sigma$

둘째, 우리는 랜덤 표본 을 가지고 있고 유사한 수량 의 상한에 관심 이 있다고 가정합니다 . 여기서 는 표본 평균이고 표본 표준 편차입니다. $X_1,\ldots,X_n$ $\mathbb P(X_1 - \bar X \geq t S)$ $\bar X$ $S$

반 걸음 앞으로

참고 이미 원래의 적용에 체비 쇼프 불평등을 양면 것을 , 우리가 얻을 $X_1 - \bar X$ 여기서,이고,작은원래 버전의 우측보다. 말이 되네요! 표본에서 랜덤 변수를 특정 적으로 실현하는 것은 모집단 평균보다 기여하는 표본 평균에 (약간) 더 가깝습니다. 아래에서 볼 수 있듯이,더 일반적인 가정 하에서를로 바꿉니다.

피 ({엑스}_{1} - \bar{엑스} \geq 티 σ) \leq \frac{1}{1 + \frac{엔}{엔 - 1} 티^{2}}

$\mathbb P( X_1 - \bar X \geq t\sigma ) \leq \frac{1}{1 + \frac{n}{n-1}t^2}$

σ^{2} = V a r (X_{1})

$\sigma^2 = \mathrm{Var}(X_1)$

σ

$\sigma$

S

$S$

단면 체비 쇼프의 샘플 버전

클레임 : 은 임의의 샘플이되도록합니다 . 그런 다음 $X_1,\ldots,X_n$ $\mathbb P(S = 0) = 0$ 특히, 경계의 샘플 버전은원래 모집단 버전보다더 빡빡합니다.
$P (X_{1} - \bar{X} \geq t S) \leq \frac{1}{1 + \frac{n}{n - 1} t^{2}} .$ $\mathbb P(X_1 - \bar X \geq t S) \leq \frac{1}{1 + \frac{n}{n-1} t^2}\>.$

참고 : 우리는 가 유한 평균 또는 분산을 가지고 있다고 가정 하지 않습니다 ! $X_i$

증거 . 아이디어는 원래의 일방적 인 체비 쇼프 불평등의 증거를 조정하고 그 과정에서 대칭을 사용하는 것입니다. 먼저 표기법 편의를 위해 로 설정하십시오. 그런 다음 임을 관찰하십시오. $Y_i = X_i - \bar X$

피 ({와이}_{1} \geq 티 에스) = \frac{1}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} 피 ({와이}_{나는} \geq 티 에스) = 이자형 \frac{1}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} 1_{({와이}_{나는} \geq 티 에스)} .

$\mathbb P( Y_1 \geq t S ) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb P( Y_i \geq t S ) = \mathbb E \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf 1_{(Y_i \geq t S)} \>.$

이제 에 대해 에서 $c > 0$ $\{S > 0\}$

1_{(Y_{i} \geq t S)} = 1_{(Y_{i} + t c S \geq t S (1 + c))} \leq 1_{((Y_{i} + t c S)^{2} \geq t^{2} (1 + c)^{2} S^{2})} \leq \frac{(Y_{i} + t c S)^{2}}{t^{2} (1 + c)^{2} S^{2}} .

$\newcommand{I}[1]{\mathbf{1}_{(#1)}} \I{Y_i \geq t S} = \I{Y_i + t c S \geq t S (1+c)} \leq \I{(Y_i + t c S)^2 \geq t^2 (1+c)^2 S^2} \leq \frac{(Y_i + t c S)^2}{t^2(1+c)^2 S^2}\>.$

그런 다음

\frac{1}{n} \sum_{i} 1_{(Y_{i} \geq t S)} \leq \frac{1}{n} \sum_{i} \frac{(Y_{i} + t c S)^{2}}{t^{2} (1 + c)^{2} S^{2}} = \frac{(n - 1) S^{2} + n t^{2} c^{2} S^{2}}{n t^{2} (1 + c)^{2} S^{2}} = \frac{(n - 1) + n t^{2} c^{2}}{n t^{2} (1 + c)^{2}},

$\frac{1}{n} \sum_i \I{Y_i \geq t S} \leq \frac{1}{n} \sum_i \frac{(Y_i + t c S)^2}{t^2(1+c)^2 S^2} = \frac{(n-1)S^2 + n t^2 c^2 S^2}{n t^2 (1+c)^2 S^2} = \frac{(n-1) + n t^2 c^2}{n t^2 (1+c)^2} \>,$

\bar{Y} = 0

$\bar Y = 0$

\sum_{i} Y_{i}^{2} = (n - 1) S^{2}

$\sum_i Y_i^2 = (n-1)S^2$

P (X_{1} - \bar{X} \geq t S) \leq \frac{(n - 1) + n t^{2} c^{2}}{n t^{2} (1 + c)^{2}} .

$\mathbb P(X_1 - \bar X \geq t S) \leq \frac{(n-1) + n t^2 c^2}{n t^2 (1+c)^2} \>.$

c

$c$

c = \frac{n - 1}{n t^{2}}

$c = \frac{n-1}{n t^2}$

그 성가신 기술 조건

$\mathbb P(S = 0) = 0$ $S^2$ $0 = Y_i = t S = 0$ $i$ $t > 0$

$q = \mathbb P(S = 0)$

$q = \mathbb P(S = 0) > 0$
$P (X_{1} - \bar{X} \geq t S) \leq (1 - q) \frac{1}{1 + \frac{n}{n - 1} t^{2}} + q .$ $\mathbb P(X_1 - \bar X \geq t S) \leq (1-q) \frac{1}{1 + \frac{n}{n-1} t^2} + q \>.$

$\{S > 0\}$ $\{S = 0\}$ $\{S > 0\}$ $\{S = 0\}$

확률 문의 엄격하지 않은 불평등을 엄격한 버전으로 바꾸면 약간 더 부등 한 불평등이 발생합니다.

$q = \mathbb P(S = 0)$
$피 ({엑스}_{1} - \bar{엑스} > 티 에스) \leq (1 - 큐) \frac{1}{1 + \frac{엔}{엔 - 1} 티^{2}} .$ $\mathbb P(X_1 - \bar X > t S) \leq (1-q) \frac{1}{1 + \frac{n}{n-1} t^2} \>.$

$X$

— 추기경
소스

$n$ $x_i$

{엑스}_{나는} - \bar{엑스} < 에스 \sqrt{엔 - 1}, 나는 = 1, . . . 엔

$x_i-\bar x < s\sqrt{n-1},\;\; i=1,...n$

s

$s$

s = {(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2})}^{1 / 2}

$s= \left (\frac 1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\right)^{1/2}$

그런 다음 추기경의 답변 표기법을 사용하여

피 ({엑스}_{1} - \bar{엑스} \geq 에스 \sqrt{엔 - 1}) = 0 에이 . 에스 . [1]

$\mathbb P\left(X_1-\bar X \ge S\sqrt{n-1}\right) =0 \;\;a.s. \qquad [1]$

$S\neq 0$ $t=\sqrt{n-1}$

피 ({엑스}_{1} - \bar{엑스} \geq 에스 \sqrt{엔 - 1}) \leq \frac{1}{1 + 엔}, [2]

$\mathbb P\left (X_1 - \bar X \geq S\sqrt{n-1}\right) \leq \frac{1}{1 + n}, \;\; \qquad [2]$

$[2]$ $[1]$ $0< t < \sqrt{n-1}$ .

추기경의 불평등이 필요한 경우 $S$ 편향 보정 계산 (이것을 호출 $\tilde S$ ) 그러면 방정식은

피 ({엑스}_{1} - \bar{엑스} \geq \tilde{에스} \frac{엔 - 1}{\sqrt{엔}}) = 0 에이 . 에스 . [1 에이]

$\mathbb P\left(X_1-\bar X \ge \tilde S\frac{n-1}{\sqrt{n}}\right) =0 \;\;a.s. \qquad [1a]$

우리는 선택한다 $t= \frac{n-1}{\sqrt{n}}$ to obtain through Cardinal's Inequality

P (X_{1} - \bar{X} \geq \tilde{S} \frac{n - 1}{\sqrt{n}}) \leq \frac{1}{n}, [2 에이]

$\mathbb P\left (X_1 - \bar X \geq \tilde S\frac{n-1}{\sqrt{n}}\right) \leq \frac{1}{ n}, \;\; \qquad [2a]$ 그리고 아기 적으로 의미있는 간격

t

$t$ 이다

0 < t < \frac{n - 1}{\sqrt{n}} .

$0< t < \frac{n-1}{\sqrt{n}}.$

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

(+1) 그런데이 문제를 처음 고려할 때

max_{i} | X_{i} - \bar{X} | \leq S \sqrt{n - 1}

$\max_i |X_i - \bar X| \leq S\sqrt{n-1}$ 실제로 샘플 부등식이 원본보다 좁아 야한다는 초기 실마리였습니다. 나는 그것을 내 게시물에 짜 넣고 싶었지만 그것을위한 (편안한) 장소를 찾을 수 없었습니다. 나는 당신이 여기에 당신의 아주 좋은 추가 정교함과 함께 언급 (실제로 약간의 개선)을 보게되어 기쁩니다. 건배.

— 추기경

@Cardinal, 건전한 답변을 환호하십시오-저를 명확히하십시오-불평등에 대해 표본 분산을 정의하는 방법 (바이어스 보정 여부)은 중요합니까?

— Alecos Papadopoulos

아주 약간만. 편향 보정 된 표본 분산을 사용했습니다. 당신이 사용하는 경우

n

$n$ 대신에

n - 1

$n-1$ 정상화하면

\frac{1 + 티^{2} {기음}^{2}}{티^{2} (1 + 기음)^{2}}

$\frac{1+t^2c^2}{t^2(1+c)^2}$ 대신에

\frac{(엔 - 1) + 엔 티^{2} {기음}^{2}}{엔 티^{2} (1 + 기음)^{2}},

$\frac{(n-1) + n t^2c^2}{nt^2(1+c)^2} \,,$ 이는

n / (n - 1)

$n/(n-1)$ 최종 불평등의 용어는 사라집니다. 따라서이 경우 원래의 한쪽 체비 쇼프 불평등과 같은 경계를 갖게됩니다. (대수를 올바르게 수행했다고 가정합니다.) :-)

— 추기경

@ Cardinal ... 내 대답의 관련 방정식이

1 a

$1a$ 과

2 a

$2a$ 이는 귀하의 불평등이 우리에게

t

$t$ 우리가 조사 할 사건의 가능성 인 Samuelson 불평등을 활성화시키기 위해 선택된

1 / n

$1/n$ 즉, 샘플에서 하나의 실현 된 값을 무작위로 선택하는 것보다 크지 않습니다. 어떻게 든 다소 직관적 인 의미가 있습니다. 아직 내 마음.

— Alecos Papadopoulos