분포의 첨도는 밀도 함수의 기하학과 어떤 관련이 있습니까?

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첨도는 분포의 정점과 평탄도를 측정하는 것입니다. 분포의 밀도 함수 (있는 경우)는 곡선으로 볼 수 있으며 모양과 관련된 기하학적 특성 (예 : 곡률, 볼록도 등)이 있습니다.

분포의 첨도가 첨도의 기하학적 의미를 설명 할 수있는 밀도 함수의 일부 기하학적 특징과 관련이 있는지 궁금합니다.

kurtosis geometry

— 팀
소스

나는 내 게시물에서 지적한 모호한 의미뿐만 아니라 밀도 곡선의 기하학적 양과 수식의 관계를 묻고 있습니다. 또는 왜 첨도 (Kurtosis)가 기하학적 의미를 갖는지에 대한 설명을하는 것이 좋습니다

— Tim

@ 피터 그것은 진실과 거리가 멀다. 지정된 모멘트를 변경하지 않고도 PDF 그래프의 형상을 거의 임의로 변경할 수 있습니다.

— whuber

stats.stackexchange.com/questions/25010/…에 밀접하게 관련된 질문은 이 질문에 대한 정답이 무엇인지 제안합니다.

— whuber

@ whuber 나는 그 예제에 동의하고 감사하지만, 첨도에 대한 일반적인 것보다 특정 pdf 패밀리의 현저한 속성에 대해 더 많이 언급하지 않는지 궁금합니다.

— user603

@ user603 정말 궁금합니다. 그러나이 진술은이 특정 패밀리에 관한 것이 아닙니다. 대수 정규 분포에 대해 동일한 순간에 대체 PDF 클래스를 명시 적으로 표현할 수 있습니다. 이다 특별한 모든 순간의이 동일하지만, 그 순간의 수정 한정된 수의 하드 아니라고 방식으로 대부분의 배포판을 교란. (

— Beroulli

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연속 분포의 순간과 첨도와 같은 기능은 밀도 함수의 그래프에 대해 거의 알려주지 않습니다.

예를 들어 다음 그래프를 고려하십시오.

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

이들 각각은 통합 된 음이 아닌 함수의 그래프입니다 . 모두 PDF입니다. 게다가, 그들은 모두 정확히 같은 순간을 가지고 있습니다. 따라서 그들이 공통 첨도 점유율 (동일하게 일어나는 ). $1$ $-3+3 e^2+2 e^3+e^4$

이 함수의 공식은 다음과 같습니다

f_{k, s} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} x} \exp (- \frac{1}{2} (\log (x))^{2}) (1 + s \sin (2 k π \log (x))

$f_{k,s}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}x} \exp\left(-\frac{1}{2}(\log(x))^2\right)\left(1 + s\sin(2 k \pi \log(x)\right)$

위한 및 $x \gt 0,$ $-1\le s\le 1,$ $k\in\mathbb{Z}.$

그림 은 왼쪽 의 값과 상단 의 값을 표시합니다 . 왼쪽 열에는 표준 로그 정규 분포에 대한 PDF가 표시됩니다. $s$ $k$

Kendall의 고급 통계 이론 (Stuart & Ord, 5th edition) 의 연습 6.21 은 독자들에게이 모두가 같은 순간을 가지고 있음을 보여달라고 요청합니다.

하나는 유사하게 수정할 수 있는 근본적으로 다른 형태의 또 다른 PDF를 생성 할 PDF를하지만, 따라서 같은 첨도있을 것 같은 두 번째 및 네 번째 중앙 순간 (말),와. 이 예만으로도 첨도는 쉽게 해석 할 수 있거나 직관적 인 대칭성, 단일성, 이형성, 볼록성 또는 기타 친숙한 곡선의 기하학적 특성의 측정이 아니라는 점이 풍부해야합니다.

따라서 모멘트의 기능 (및 특수한 경우의 첨도)은 pdf 그래프의 기하학적 특성을 설명하지 않습니다. pdf는 면적을 기준으로 확률을 나타 내기 때문에 한 장소에서 다른 장소로 확률 밀도를 거의 자유롭게 이동하여 PDF의 모양을 크게 변경하는 동시에 미리 지정된 한정된 수의 한정된 순간을 고정시킬 수 있습니다.

— 우버
소스

1

"이 예제만으로도 곡선의 다른 친숙한 기하학적 특성이 풍부해야합니다." 나는 당신이 무엇을 의미하는지 이해하지만 여기 해석에 합리적인 발산의 근거가 있습니다. 또 다른 해석은 대칭 분포에서 시작하여 특정 지점에서 일부 질량을 이동하여 첨도를 증가 / 감소시키는 방법을 보여줍니다 (다시, 예의 모순이 아니라 더 '긍정적 인 이해').

— user603

1

@ user603 나는 동의하지 않지만, "긍정적 인"접근법은 그것이 작동하기 위해 암시 적으로 만들어진 매우 특별한 가정을 간과한다고 생각합니다. 또한 비대칭 PDF가 왜도가 0 인 (비 구성하기 어려운) 그래프로 시작할 수 있습니다. 따라서 긍정적 인 접근 방식은 질량이 움직일 때 특정 PDF에 어떤 일이 발생하는지 설명합니다. 그것이 직관에 매우 유용 할 수 있지만, 현재의 질문에 논리적으로 관련이없는 것 같습니다.

— whuber

1

나는 왜도 (및 일반적으로 당신의 대답)에 동의합니다. 그러나 첨도는 기능적으로 최소한을 가지고 있습니다. 그것은 일을 조금 더 흥미롭게 만듭니다.

— user603

1

@ user603 감사합니다; 그것은 통찰력있는 구별입니다. 나는 그것이 현재의 결론을 중요한 방식으로 바꾸지 않는다고 생각하지만 그것은 직관에 도움이되며 짝수 순간과 홀수 순간 사이의 중요한 차이점을 지적합니다.

— whuber

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대칭 분포 (균일 한 중심 모멘트가 의미있는 분포)의 경우 첨도는 기본 pdf의 기하학적 특성을 측정합니다. 첨도가 분포의 정점을 측정하는 것은 사실이 아닙니다. 오히려, 첨도는 기본 분포가 대칭 및 이봉 이되는 거리를 측정합니다 (대수적으로, 완벽하게 대칭이되는 이봉 분포는 첨도가 1이되어 첨도가 가질 수있는 가장 작은 값임) [0].

간단히 말해서 다음과 같이 정의하면 [1]

k = E (x - μ)^{4} / σ^{4}

$k=E(x-\mu)^4/\sigma^4$

$E(X)=\mu,V(X)=\sigma^2$

k = V (Z^{2}) + 1 \geq 1

$k=V(Z^2)+1\ge1$

$Z=(X-\mu)/\sigma$

$k$ $Z^2$

RB 달링턴 (1970). Kurtosis는 정말 "피크 니스"입니까? 미국 통계 학자, Vol. 24, 2 번

[1] JJA 무 어스 (1986). Kurtosis의 의미 : 달링턴 재검토. 미국 통계 학자, 제 40 권, 제 4 호.

— 사용자 603
소스

1

당신이 "바이 모달"이라고 쓰는 곳 어디에서나 "모노 모달"을 의미합니까?

— whuber

1

f

$f$

μ

$\mu$

g (x) = (f (x) + f (2 μ - x)) / 2.

$g(x) = (f(x)+f(2\mu-x))/2.$

g

$g$

1

$1$ . 따라서, 첨도는 적어도 이형성에 대해 아무 것도 말하지 않습니다. 그것은 pdf의 어떤 기하학적 특성을 정확하게 묘사하고 있지 않습니까?

— whuber

1

채팅으로 토론을 계속

— whuber

1

첨도는 최소 점에 가까운 극단적 인 경우를 제외하고 2 점 등가 분포와 유사한 것을 나타내는 양봉 성을 나타내지 않습니다. 가능한 모든 첨도 값으로 바이 모달 분포를 가질 수 있습니다. 예제는 ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753 을 참조하십시오 .

— 피터 웨스트 폴

1

p

$p$

p

$p$

v \to 0

$v \rightarrow 0$

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[NB 이것은 현장의 다른 질문에 대한 답변으로 작성되었습니다; 대답은 현재 질문에 병합되었습니다. 그렇기 때문에이 답변이 다르게 표현 된 질문에 응답하는 것 같습니다. 그러나 많은 게시물이 여기에 관련되어야합니다.]

첨도는 분포의 형태를 실제로 측정하지 않습니다. 일부 분포 제품군 내에서 모양을 설명한다고 말할 수 있지만, 일반적으로 첨도는 실제 모양에 대해 크게 설명하지 않습니다. 모양은 첨도와 관련이없는 것을 포함하여 많은 것들에 의해 영향을받습니다.

첨도에 대한 이미지 검색을 수행하는 경우 다음과 같은 이미지가 표시됩니다.

대신 첨도를 증가시키는 대신 변화하는 변화를 보이는 것 같습니다. 비교를 위해 표준 편차가 다른 방금 그린 (R을 사용하여) 세 가지 일반 밀도가 있습니다.

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

보시다시피, 이전 그림과 거의 동일하게 보입니다. 이것들은 모두 정확히 같은 첨도를 가지고 있습니다. 대조적으로, 여기 다이어그램이 목표로 한 것에 더 가까운 예제가 있습니다.

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

녹색 곡선은 피크가 높고 꼬리가 무겁습니다 (이 디스플레이는 꼬리가 실제로 얼마나 무거운 지 보는 데 적합하지 않습니다). 파란색 곡선의 피크가 적고 꼬리가 매우 밝습니다 (실제로는 넘어서는 꼬리가 없습니다) $\sqrt{6}$

이것은 대개 사람들이 밀도의 모양을 나타내는 첨도에 대해 이야기 할 때 의미하는 것입니다. 그러나 첨도는 미묘 할 수 있습니다. 그렇게 작동 할 필요는 없습니다.

예를 들어, 주어진 분산에서 더 높은 첨도는 실제로 더 낮은 피크에서 발생할 수 있습니다.

또한 과도한 첨도가 제로임을 암시하는 유혹 (그리고 꽤 많은 책에서 공개적으로 언급되어 있음)을주의해야합니다. 과도한 첨도 0을 갖는 분포가 정상과 다릅니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

dgam 2.3

사실, 그것은 또한 이전 요점을 보여줍니다. 나는 정상보다 높은 첨도를 가진 유사하게 보이는 분포를 쉽게 구성 할 수 있었지만 중앙에서 여전히 0 인 피크는 전혀 없었습니다.

사이트에 첨도를 설명하는 게시물이 많이 있습니다. 한 가지 예가 여기 있습니다 .

— Glen_b-복귀 모니카
소스

그러나 나는 그것을 말하지 않았다? 이 책은 말합니다?

— 통계 통계 학자

알아 난 당신이 말한 적이 없어요 당신이 묻는 터무니없이 틀린 말에 어떻게 대답하겠습니까? 그들이 틀린 척하는거야?

— Glen_b-복지 주 모니카

1

@Glen_b 사진이 책에 없습니다. 이 책에는 삽화가 없습니다. 나는이 그림에 대한 goolge 그림 검색을 사용했습니다.

— 통계 학자

2

어떤 저자들은 첨도를 최고점으로 쓰고 일부는 꼬리 무게로 씁니다. 그러나 첨도는 첨도 측정법이 전부 안전하다는 유일한 회의 론적 해석입니다. 어빙 카플란 스키 (1945)만으로 제시된 수치 적 예는 첨도가 명백한 해석을지지 않는다는 것을 보여주는 것으로 충분합니다. (Kaplansky의 논문은 1940 년대 중반에 확률과 통계에 관해 쓴 몇 가지 중 하나입니다. 그는 대수학 자로 잘 알려져 있습니다.) stata-journal.com/sjpdf.html?articlenum=st0204

— Nick Cox

1

첨도는 최고점이라고 주장하는 서적과 논문이 있으므로, 나의 첫 번째 조항은 문헌의 내용에 대한 진술만큼이나 정확하고지지 가능한 상태로 남아 있습니다. 더 중요한 것은 Kaplansky의 사례와 주장을 어떻게 고려하는지입니다.

— Nick Cox

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$\mu \pm \sigma$

11/23/2018 편집 :이 게시물을 작성한 후 첨도에 대한 기하학적 관점을 개발했습니다. 하나는 과잉 첨도가 실제로 정상 분위수-양분 위도의 꼬리에서 예상되는 45도 라인으로부터의 편차와 관련하여 기하학적으로 시각화 될 수 있다는 것이다; 이 QQ 플롯이 leptokurtic 또는 platykurtic 분포를 나타 냅니까?를 참조하십시오 .

$p_V(v)$ $V = \{(X - \mu)/\sigma \}^4$ $X$ $E(V)$ $V$ $X$

$\mu \pm \sigma$ $X$ $\mu \pm \sigma$ $\mu$ $\sigma$ $X$ $\le 0.25$ $\mu \pm \sigma$ $\mu$ $\sigma$

— 피터 웨스트 폴
소스

3

대부분의 게시물에서 사람들을 신문에 계속 추천하기보다는 여기에 논쟁을 요약 해 주시겠습니까? 도움말을 참조하십시오 여기 그것이 말하는 경우 특히 "항상 중요한 부분을 인용", "항상 링크에 대한 컨텍스트를 제공"에서. 인수가 광범위한 경우 반드시 문자 그대로 인용 할 필요는 없지만 적어도 인수에 대한 요약이 필요합니다. 당신은 몇 가지 쓸쓸한 진술을 한 다음 종이에 연결합니다. 첨도 있다는 문 을 측정 꼬리 행동이 (명백히 때문에) 오해의 소지가 (결석 상황이)입니다

— Glen_b -Reinstate 모니카

2

...하지만 여기에 제시되지 않은 주장에 동의하지 않고 더 미묘한 결론에 도달 할 수는 없습니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

내 주장은 분명히 여기에 배치됩니다 en.wikipedia.org/wiki/...의 의견은 환영합니다! BTW, 첨도 는 꼬리 무게의 척도이며 다른 고려 사항과 동일하지 않습니다. E (Z ^ 4)를 통해 테일 웨이트를 측정합니다. 이는 값 | Z | <1이 그다지 기여하지 않기 때문에 테일 웨이트의 측정 값입니다. 같은 논리로, 더 높은 짝수 n에 대한 E (Z ^ n)도 꼬리 무게 측정 값입니다.

— 피터 웨스트 폴

Peter 안녕하세요, stats.stackexchange.com/help/merging-accounts 를 방문 하여 이전 게시물을 수정할 수 있도록 계정을 병합하십시오.

— whuber

3

다른 종류의 답변 : http://www.quantdec.com/envstats/notes/class_06/properties.htm : 그래픽 모멘트의 아이디어를 사용하여 첨도를 기하학적으로 설명 할 수 있습니다 .

k = E {(\frac{X - μ}{σ})}^{4} = \int (\frac{x - μ}{σ})^{4} f (x) d x

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} k = \E \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \right)^4 =\int (\frac{x-\mu}{\sigma})^4 f(x) \; dx$

f

$f$

X

$X$

μ, σ^{2}

$\mu, \sigma^2$

x

$x$

k_{e} = k - 3

$k_e=k-3$

다음에서는 일부 대칭 분포에 대한 그래픽 첨도의 도표를 보여줍니다. 모두 0을 중심으로 분산 1을 갖도록 조정되었습니다.

중앙에서 첨도에 대한 기여가 거의 없다는 점에 유의하십시오. 첨도는 "말하기"와는 관련이 없습니다.

— 크 제틸 비 할보 르센
소스

1

Z^{2}

$Z^2$

- b

$-b$

+ b

$+b$

b

$b$