상관 관계는 없지만 독립적 인 및 의 간단한 예

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열심히 일하는 학생은 "모든 학생이 게으르다"는 반례입니다.

"임의의 변수 와 가 서로 관련이 없으면 독립적입니다"에 대한 간단한 반례는 무엇입니까 ? $X$ $Y$

correlation random-variable independence

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나는 이것이 중복이라고 생각하지만 그것을 찾기에는 너무 게으르다. 및 취하십시오 . 이지만 분명히 두 변수는 독립적이지 않습니다.

X \sim N (0, 1)

$X\sim N(0,1)$

Y = X^{2}

$Y=X^2$

c o v (X, Y) = E X^{3} = 0

$cov(X,Y)=EX^3=0$

— mpiktas

1

간단한 예 (아마도 더 간단한 것이있을지라도)

— Glen_b -Reinstate Monica

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를 및 , 에 균일하게 분포 시키 십시오 .

U

$U$

[0, 2 π]

$[0,2\pi]$

X = \cos U

$X=\cos U$

Y = \sin U

$Y = \sin U$

— Dilip Sarwate

"가장 단순하다"는 의미가 정의되어 있지 않기 때문에이 질문은 객관적으로 대답 할 수 없습니다. 나는 stats.stackexchange.com/questions/41317 에서 한계 분포의지지에 대한 가장 단순한 카디널리티의 가장 작은 합계를 기반으로 중복을 선택했습니다 .

— whuber

3

@ whuber : "가장 단순하다"는 실제로 잘 정의되어 있지 않지만, 여기서 답변, 예를 들어 Glen_b의 답변은 이 스레드를 복제 한 스레드보다 훨씬 더 간단한 예를 제공 합니다. 나는 이것을 다시 열 것을 제안하고 (나는 이미 투표했다) 아마도 "간단한"이 잘못 정의되어 있고 OP가 다양한 "간단한"예를 요구하고 있다는 사실을 강조하기 위해 CW로 만들 것을 제안한다.

— amoeba는

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보자 . $X\sim U(-1,1)$

이라고하자 . $Y=X^2$

변수는 서로 관련이 없지만 종속적입니다.

대안으로, 확률이 각각 1/4, 1/2, 1/4 인 3 점 (-1,1), (0, -1), (1,1)에서의 확률로 구성된 이산 이변 량 분포를 고려하십시오. 그런 다음 변수는 서로 관련이 없지만 종속적입니다.

다이아몬드 (45도 회전 된 정사각형)의 이변 량 데이터를 고려하십시오. 변수는 서로 관련이 없지만 종속적입니다.

그것들은 내가 생각할 수있는 가장 간단한 경우에 관한 것입니다.

— Glen_b-복귀 모니카
소스

대칭이고 0을 중심으로하는 모든 랜덤 변수는 상관이 없습니까?

— Martin Thoma

1

@moose 설명이 모호합니다. " 가 0에 대해 대칭이고 가 0에 대해 대칭 인 경우"를 의미하는 경우 , 예를 들어 표준 법선 마진을 갖는 이변 량 법선은 상관 될 수 있기 때문에 아니오입니다. " 가 0에 대해 대칭이고 가 의 짝수 함수 "를 의미 하는 경우 분산이 존재하는 한 그 대답은 '예'라고 생각합니다. 다른 의미가 있다면 설명해야합니다.

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— Glen_b-복지국 모니카

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간단한 카운터 예제의 본질은 0을 중심으로 한 연속 랜덤 변수 예 : 로 시작하여 볼 수 있다고 생각합니다 . 의 pdf가 형식의 간격으로 균일하고 정의 되었다고 가정합니다 여기서 . 이제 가정 일부에 대한 함수 . 우리는 이제 질문을한다 : 어떤 종류의 함수 대해 가질 수 있는가? $X$ $E[X]=0$ $X$ $(-a,a)$ $a>0$ $Y=f(X)$ $f$ $f(X)$ $Cov(X,f(X))=0$

우리는 알고 . 이라고 가정 하면 됩니다. 의 PDF 나타내는 통해 , 우리는이 $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$ $E[X]=0$ $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$ $X$ $p(\cdot)$

$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$ .

우리는 을 원하며 이것을 달성하는 한 가지 방법은 가 짝수 함수임을 확인하는 것입니다. 이는 가 홀수 함수 임을 암시 합니다. 그런 다음 이므로 입니다. $Cov(X,f(X))=0$ $f(x)$ $xf(x)p(x)$ $\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$ $Cov(X,f(X))=0$

이런 식으로, 우리는 pdf가 어떤 점을 중심으로 대칭적이고 어떤 함수 도 를 정의하기 때문에 의 정확한 분포 는 중요하지 않음을 알 수 있습니다 . $X$ $f(\cdot)$ $Y$

이 방법을 사용하면 사람들이 이러한 유형의 반례를 어떻게 생각해 내는지 알 수 있기를 바랍니다.

— Harjoat Bhamra
소스

5

반례가 되십시오 (즉 열심히 일하는 학생)! 그것으로 말했다 :

나는 실제 사례를 생각하려고했는데 이것이 내 마음에 온 첫 번째 사례였다. 이것은 수학적으로 가장 간단한 경우는 아니지만 (이 예제를 이해하면 항아리와 공 또는 무언가가있는 더 간단한 예제를 찾을 수 있어야합니다).

일부 연구에 따르면 남성과 여성의 평균 IQ는 동일하지만 남성 IQ의 분산은 여성 IQ의 분산보다 큽니다. 구체적으로 남성 IQ는 를 따르고 여성 IQ 는 과 함께 를 따릅니다 . 인구의 절반이 남성이고 인구의 절반이 여성입니다. $N(100, \sigma^2)$ $N(100, \alpha \sigma^2)$ $\alpha<1$

이 연구가 정확하다고 가정하면 :

성별과 IQ의 상관 관계는 무엇입니까?

성별과 IQ는 독립적입니까?

— 하
소스

4

사용하여 불연속 랜덤 변수 을 정의 할 수 있습니다 $X\in\{-1,0,1\}$ $\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

그런 다음 $Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

와 는 서로 관련이 있지만 독립적이지 않은 것을 쉽게 확인할 수 있습니다 . $X$ $Y$

— 완고한 원자
소스

2

이것을 시도하십시오 (R 코드) :

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

이것은 의 식에서 나온 것입니다. $x^2+y^2-r^2=0$

$Y$ 는 와 상관되지 않지만 기능적으로 결정적입니다 (결정적). $x$

— 분석자
소스

1

샘플 상관 관계 0은 실제 상관 관계가 0임을 의미하지 않습니다.

— mpiktas

3

@mpiktas이 4 개의 값이 각각 확률이 1/4 인 이변 량 분포를 나타내는 경우 cor0을 반환 하는 함수는 모집단 상관 관계가 0임을 나타냅니다.

— Glen_b-복지 모니카

@Glen_b 나는 코드에 대해 더 나은 의견을 말했을 것이다. 이것은 모두에게 알려진 것은 아닙니다. R에서는 코딩 스타일로 권장되지 않는다고 생각되는 세미콜론을 사용할 수 있습니다.

— Analyst

1

@Glen_b 네 맞습니다. 그러나 이것은 언급되지 않았습니다. 좋은 관찰 btw.

— mpiktas

1

상관 관계가 없음을 암시하는 유일한 일반적인 경우는 X와 Y의 공동 분포가 가우스 인 경우입니다.

— 프레데릭 마이 너트 슨
소스

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이것은 간단한 예를 만들어서 질문에 직접 대답하지는 않지만 그 의미는 더 많은 주석입니다. 그러나 그것은 매우 광범위한 가능한 예를 제안한다는 점에서 간접적 인 대답을 제공합니다. 원래의 질문에 어떻게 대답했는지 명확하게하기 위해이 게시물을 다시 언급 할 가치가 있습니다.

— Silverfish

-1

두 문장으로 된 대답 : 상관되지 않은 통계적 의존성의 가장 명확한 경우는 RV의 비선형 함수입니다 (예 : Y = X ^ n). 두 RV는 상관 관계가 선형 관계이기 때문에 명확하게 의존하지만 상관되지는 않습니다.

— 존 스트롱
소스

매우 구체적인 분포가 아니라면 RV 와 은 일반적으로 상관됩니다.

X

$X$

X

$X$

Y = X^{n}

$Y=X^n$

— StijnDeVuyst

이 답변은 잘못되었습니다. R에서 : 식 : {x <-runif (100); cor (x, x ^ 3)} 결과 : 0.9062057

— Josh