차동 지오메트리는 통계와 관련이 있습니까?

나는 통계학 석사를하고 있으며 미분 기하학을 배우는 것이 좋습니다. 나는 이것이 동기 부여가되기 때문에 미분 기하학의 통계적 응용에 대해 듣는 것이 더 행복 할 것이다. 통계에서 미분 기하학 응용 프로그램을 아는 사람이 있습니까?

주제에 관한 2 개의 표준 책, 리뷰, 2 개의 다른 참고 문헌 :

• 미분 기하학 및 통계 , MK 머레이, JW 라이스

  1945 년 Rao가 확률 분포 패밀리에 대한 Fisher 정보 메트릭을 소개 한 이후로 통계에 미분 기하학을 적용하는 데 통계 학자들 사이에서 관심이있었습니다. 이 관심은 지난 수십 년 동안 많은 연구원들의 연구로 급속히 증가했습니다. 지금까지 이러한 아이디어가 더 광범위한 통계 커뮤니티로 확산되는 데 방해가되는 것은 통계학자가 접근 할 수있는 방식으로 차등 기하학에 대한 현대의 좌표 자유 접근 방식을 소개하는 적절한 텍스트가 부족하다는 것입니다. 이 책은이 차이를 메우기위한 것입니다. 저자는 미분 기하학에 대한 광범위한 연구 경험과 통계 적용에 관한 책을 제공합니다. 이 책은 가장 간단한 미분 매니 폴드에 대한 연구로 시작합니다. 공간과 지수 가족과의 관련성 및 일반 이론, Fisher 정보 메트릭, Amari 연결 및 무증상으로 전달됩니다. 그것은 벡터 번들, 원리 번들 및 제트의 이론과 스트링 이론에 대한 적용에서 정점을 이룹니다. 현재 통계 및 미분 기하학 연구의 최첨단 주제입니다.

• 정보 기하학의 방법 , S.-I. 아마리, 나가오카

  정보 기하학은 수학적 과학에 새로운 분석 프레임 워크를 제공합니다. 그것은 Fisher 분포에 의해 정의 된 Riemannian 메트릭과 -connections 라 불리는 1 개의 매개 변수 아핀 연결로 구성된 확률 분포 매니 폴드에 대한 자연적 차등 기하학적 구조의 조사에서 나온 것 입니다. -connection과 의 이중성α ( − α $\alpha$$\alpha$$(-\alpha)$메트릭과 함께-연결은이 형상에서 중요한 역할을합니다. 다양한 확률 분포에서 나온 이러한 종류의 이원성은 보편적이며, 확률 이론과 명백한 관계가 없을 수있는 다양한 문제에서 나타난다. 이원성을 통해 다양한 근본적인 문제를 통일 된 관점에서 분석 할 수 있습니다. 이 책의 전반부는 미분 기하학의 예비, 매니 폴드 또는 확률 분포의 기하학 및 이중 아핀 연결의 일반적인 이론을 포함하여 정보 기하학의 수학적 기초에 대한 포괄적 인 소개에 중점을 둡니다. 본문의 후반부는 통계, 선형 시스템, 정보 이론, 양자 역학, 볼록한 분석, 신경망, 그리고 차등 기하학을 정의합니다. 이 책은 고급 학부 및 대학원생을위한 주제 코스에 적합한 텍스트로 제공 될 수 있습니다.

• 통계적 추론의 미분 기하학 , S.-I. Amari, OE Barndorff-Nielsen, RE Kass, SL Lauritzen 및 CR Rao, IMS 강의 노트 Monogr. Ser. 10 권, 1987 년, 240pp.

• 통계 이론에서의 차등 기하학의 역할 , OE Barndorff-Nielsen, DR Cox 및 N. Reid, 국제 통계 검토 / Revue Internationale de Statistique, Vol. 54 권 1 호 (1986 년 4 월), 83-96 페이지

Riemannian 형상은 공정이 정지 될 필요가없는 랜덤 필드 (확률 론적 프로세스의 일반화) 연구에 사용됩니다 . 내가 연구하고있는 참고 문헌은 두 가지 리뷰와 함께 아래에 제공됩니다. 해양학, 천체 물리학 및 뇌 영상에 응용이 있습니다.

랜덤 필드와 기하학 , Adler, RJ, Taylor, Jonathan E.

http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691

리뷰 :

"가우시안 수프 의 최고 분포 , 즉 대한 경계의 개발 은 어렵고 흥미로운 연구 주제 오랜 시간이 문제에 대한 철저한 발표는 서문의 저자들이 언급 한 바와 같이 검토중인 책의 주요 목표이며, 저자는 매끄러운 가우시안 분야의 맥락에서 결과를 개발합니다. 매개 변수 간격$f$$\Bbb{P}\{\sup_{t\in M}f(t)\ge u\}$$M$Riemannian 계층화 된 매니 폴드이며, 그 접근 방식은 기하학적입니다. 이 책은 세 부분으로 나뉩니다. 1 부에서는 가우스 프로세스 및 필드의 필수 도구를 소개합니다. Part II는 적분 및 미분 기하학의 필수 전제 조건을 간결하게 노출합니다. 마지막으로, 파트 III에서, 소풍 세트의 오일러 특성 함수의 기대 및 필드의 최대 분포에 대한 근사치에 대한 공식 인 책의 핵심이 정확하게 확립됩니다. 이 책은 비공식적 인 스타일로 작성되어 매우 즐거운 독서를 제공합니다. 각 장은 다루어야 할 문제에 대한 설명으로 시작하며 본문 전체에있는 각주는 필수 불가결 한 보충 자료이며 여러 번 역사적 참고 자료로 사용됩니다.

"이 책은 매니 폴드에 정의 된 임의의 필드에 대한 현대의 소풍 확률 이론과 소풍 세트의 기하학을 제시합니다. ...이 책은 학생들에게 이해 될 수 있습니다 ... 분석에 대한 배경 지식이 풍부합니다. ...이 책의 학제 적 성격 , 제시된 수학적 이론의 아름다움과 깊이는 모든 수학적 라이브러리의 필수 불가결 한 부분이며 가우시안 프로세스, 랜덤 필드 및 통계적 응용에 관심이있는 모든 영아의 책장입니다. " (Ilya S. Molchanov, Zentralblatt MATH, Vol. 1149, 2008)

미분 기하학이 필수적인 방식으로 사용되는 통계 / 응용 수학의 한 영역 ( 수많은 다른 수학 영역 과 함께 )은 패턴 이론 입니다. Ulf Grenander의 책을 볼 수 있습니다 : https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc?ie=UTF8 또는 다소 접근하기 쉬운 텍스트 David Mumford (필드 메달 수상자 이상) : https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rd=1i815279 = LIesY & psc = 1 & refRID = Q40ESHME10ZPC7XYVT59

마지막 텍스트의 서문에서 :

“패턴 이론”이라는 용어는 Ulf Grenander가 세계에서 패턴 구조 분석에 대한 그의 접근 방식을“패턴 인식”과 구별하기 위해 만들어졌습니다.이 책에서는 분석에 사용 된 통계적 방법을 포함하기 위해 다소 넓은 의미로 사용합니다. 이미지, 사운드, 텍스트, DNA 또는 단백질 문자열, 뉴런의 스파이크 트레인, 시계열 또는 날씨의 시계열 등 세계에서 생성 된 모든 "신호"; 이 모든 것의 예는 그 랜더의 저서 '패턴 이론의 요소 (Elements of Pattern Theory)'[94] 또는 패턴 이론에 관한 동료, 협력자 및 학생들의 작품에 실려있다.

차등 형상이 사용되는 한 가지 예는면 모델입니다.

@whuber의 질문에 대한 답변을하려고 노력하면서, Grenander의 책 16 장과 제목 "computational anatomy"을보십시오. 매니 폴드는 난로와 같은 인체 해부학의 다양한 부분을 나타내는 데 사용되며,이 해부학 적 매니 폴드의 변화를 나타내는 데 사용되는 이발 작은 비교, 성장 모델링, 일부 질병의 행동 모델링을 가능하게합니다. 이 아이디어는 1917 년부터 D' Arcy Thompson의 "성장과 형태에 관한 기념비적 논문"으로 거슬러 올라갑니다!

그 랜더는 계속해서 그 논문을 인용한다.

형태학의 매우 큰 부분에서, 우리의 필수 과제는 각각의 정확한 정의보다는 관련 형태의 비교에 있습니다. 복잡한 도형의 변형은 이해하기 쉬운 현상 일 수 있지만, 도형 자체는 분석되지 않고 정의되지 않은 채로 남아있을 수 있습니다. 원래의“유형”또는 비교 표준에 대한 정확하고 적절한 이해와는 별도로, 한 형태로 다른 형태의 명확한 순열 또는 변형을 인식하는 이러한 비교 과정은 수학의 즉각적인 범위 내에 있으며 수학에서 그 해법을 찾습니다. 수학자의 특정 방법의 초등 사용. 이 방법은 좌표의 방법으로 변환 이론을 기반으로합니다.

이 아이디어의 가장 잘 알려진 예는 3 년 전에 어떤 어린이가 사라 졌을 때이며, 어떤 사람은 자신의 얼굴 사진을 (보통 스플라인을 사용하여) 오늘날의 모습으로 변형 한 것으로 출판합니다.