Quantile 회귀 추정기 공식

나는 양자 회귀 추정기의 두 가지 다른 표현을 보았습니다.

큐 (β_{큐}) = \sum_{나는 : {와이}_{나는} \geq {엑스}_{나는}^{'} β}^{엔} 큐 ∣ {와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐} ∣ + \sum_{나는 : {와이}_{나는} < {엑스}_{나는}^{'} β}^{엔} (1 - 큐) ∣ {와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐} ∣

$Q(\beta_{q}) = \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta} q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta} (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid$

그리고

큐 (β_{큐}) = \sum_{나는 = 1}^{엔} ρ_{큐} ({와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}), ρ_{큐} (유) = 유_{나는} (큐 - 1 (유_{나는} < 0))

$Q(\beta_q) = \sum^{n}_{i=1} \rho_q (y_i - x'_i \beta_q), \hspace{1cm} \rho_q(u) = u_i(q - 1(u_i < 0 ))$

여기서 $u_i = y_i - x'_i \beta_q$ 입니다. 누군가이 두 표현의 동등성을 어떻게 보여줄 수 있습니까? 두 번째 표현부터 시작하여 지금까지 시도한 내용이 있습니다.

\begin{aligned} Q (β_{q}) & = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} (q - 1 (u_{i} < 0)) (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) (q - 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} < 0)) (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = [\sum_{i : y_{i} \geq x_{i}^{'} β}^{n} (q (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q})) + \sum_{i : y_{i} < x_{i}^{'} β}^{n} (q (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}))] (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \end{aligned}

$\begin{align} Q(\beta_q) &= \sum^{n}_{i=1} u_i(q - 1(u_i < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i \beta_q)(q - 1(y_i - x'_i \beta_q < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &=\left[ \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)) + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)-(y_i - x'_i\beta_q)) \right](y_i - x'_i\beta_q) \end{align}$ 그러나이 시점에서 나는 진행하는 방법에 갇혀있다. 이것은 숙제 나 과제 질문이 아닙니다. 많은 감사합니다.

proof quantile-regression equivalence

— AlexH
소스

기억하면 OLS는 제곱 잔차 의 합을 최소화하는 반면, 중앙 회귀 분석은 절대 잔차 의 합을 최소화합니다 . 중앙값 또는 최소 절대 편차 (LAD) 추정기는 특수한 Quantile 회귀 분석입니다 . 분위수 회귀에서는 overprediction 비대칭 가중치를 수신 절대 오차의 합을 최소화 및 underprediction를 들어. LAD 표현에서 시작하여 값이 주어지면 및 의해 가중치가 부여되는 데이터 비율의 합으로이를 확장 하고 다음과 같이 작업 할 수 있습니다. $\sum_i u_{i}^{2}$ $\sum_i \mid u_i \mid$ $q = .5$ $(1-q)$ $q$ $q$ $(1-q)$ $u_i$

\begin{aligned} ρ_{큐} (유) & = 1 (유_{나는} > 0) 큐 ∣ 유_{나는} ∣ + 1 (유_{나는} \leq 0) (1 - 큐) ∣ 유_{나는} ∣ \\ = 1 ({와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐} > 0) 큐 ∣ {와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐} ∣ + 1 ({와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐} \leq 0) (1 - 큐) ∣ {와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐} ∣ \end{aligned}

$\begin{align} \rho_q(u) &= 1(u_i>0) \, q\mid u_i\mid + 1(u_i\leq 0) \, (1-q)\mid u_i \mid \newline &= 1(y_i - x'_i \beta_q > 0) \, q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + 1(y_i - x'_i\beta_q \leq 0) \, (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid \end{align}$ 이것은 단지 라는 사실을 사용 하고 지표의 조건을 만족하는 관측치의 합으로 지표 함수를 다시 작성할 수 있습니다. . 이것은 Quantile Regression Estimator에 대해 처음 기록한 표현을 제공합니다.

u_{i} = y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} = \sum_{나는 : {와이}_{나는} > {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}}^{엔} 큐 ∣ {와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐} ∣ + \sum_{나는 : {와이}_{나는} \leq {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}}^{엔} (1 - 큐) ∣ {와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐} ∣ \\ = 큐 \sum_{나는 : {와이}_{나는} > {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}}^{엔} ∣ {와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐} ∣ + (1 - 큐) \sum_{나는 : {와이}_{나는} \leq {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}}^{엔} ∣ {와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐} ∣ \\ = 큐 \sum_{나는 : {와이}_{나는} > {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}}^{엔} ({와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}) - (1 - 큐) \sum_{나는 : {와이}_{나는} \leq {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}}^{엔} ({와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}) \\ = 큐 \sum_{나는 : {와이}_{나는} > {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}}^{엔} ({와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}) - \sum_{나는 : {와이}_{나는} \leq {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}}^{엔} ({와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}) + 큐 \sum_{나는 : {와이}_{나는} \leq {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}}^{엔} ({와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}) \\ = 큐 \sum_{나는 = 1}^{엔} ({와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}) - \sum_{나는 = 1}^{엔} 1 ({와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐} \leq 0) ({와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}) \\ = \sum_{나는 = 1}^{엔} (큐 - 1 (유_{나는} \leq 0)) 유_{나는} \end{aligned}

$\begin{align} &= \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}q\mid y_i - x'_i\beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (1-q) \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid + (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} ( y_i - x'_i\beta_q ) \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) + q \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) \newline &= q \sum^{n}_{i=1} (y_i - x'_i \beta_q) - \sum^{n}_{i=1}1(y_i - x'_i\beta_q\leq 0)(y_i - x'_i\beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(q - 1(u_i \leq 0))u_i \end{align}$

두 번째 줄은 합계에서 가중치를 가져옵니다. 세 번째 줄은 절대 값을 제거하고 실제 값으로 대체합니다. 정의상 는 일 때마다 음수 줄의 부호가 바뀝니다. 네 번째 줄은 곱합니다 . 그러면 및 네 번째 줄의 중간 항을 해당 표시기로 대체 다섯 번째 줄에 도착합니다. 분해 및 대치 $y_i - x'_i\beta_q$ $y_i < x'_i\beta_q$ $(1-q)$

큐 \sum_{나는 : {와이}_{나는} > {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}}^{엔} ({와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}) + 큐 \sum_{나는 : {와이}_{나는} \leq {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}}^{엔} ({와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐}) = \sum_{나는 = 1}^{엔} ({와이}_{나는} - {엑스}_{나는}^{'} β_{큐})

$q\sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) + q\sum^{n}_{i:y_i \leq x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) = \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i\beta_q)$

y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$y_i - x'_i\beta_q$

u_{i}

$u_i$
이것은 두 표현식이 어떻게 동등한지를 보여줍니다.

— 앤디
소스