종속 카이-제곱 랜덤 변수의 비율 분포

가정이 독립적이다. $X = X_1 + X_2+\cdots+ X_n$ $X_i \sim N(0,\sigma^2)$

내 질문은, 어떤 배포판이

Z = \frac{X^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$Z = \frac{X^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

따르다? 여기서 로 표현 된 두 카이 제곱 랜덤 변수의 비율이 베타 분포를 따른다는 것을 알고 있습니다 . 나는 이것이 와 사이의 독립성을 가정한다고 생각합니다 . 필자의 경우 의 분모 에는 제곱 성분이 포함 됩니다. $\frac{W}{W + Y}$ $W$ $Y$ $Z$ $X$

도 베타 배포판의 변형을 따라야 한다고 생각 하지만 확실하지 않습니다. 그리고이 가정이 맞다면 그것을 증명하는 방법을 모르겠습니다. $Z$

— x0dros
소스

분모의 분포는 회전하에 변하지 않기 때문에

X

$X$ 를

회전시킬 수 있습니다

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt{n}X_1$ 은 질문을 익숙한 것으로 줄입니다 :-).

— whuber

@whuber는 정확히 거기에 입력 된 것을 의미한다고 확신합니다. 당신이 'nominator'라고 말할 때 'numerator'를 의미합니까?

— Glen_b-복지 모니카

무엇이든 회전 시키면 정의에 따라 길이가 유지됩니다. 따라서 어떠한 회전 된 버전의 편차

의 분산 같아야

이고,

: 그 년대를

X

$X$

X

$X$

1 + 1 + \dots + 1 = n

$1+1+\cdots+1=n$

용어가 유래합니다.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— whuber

@ whuber 귀하의 답변은 실제로 매우 흥미로운 것 같지만 그것에 대해 의문이 있습니다.

를

회전시킬 수 있다고 말할 때

X

$X$

, 이것은 기본적으로

의 분자를

로다시 쓸 수있으며 결과적으로

자체는

로 바뀝니다

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt nX_1$

Z

$Z$

n X_{1}^{2}

$nX_1^2$

Z

$Z$

. 이제, 가정하면

및

이후

및

독립적으로, I가 있다고 가정 할 수

n \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$n\frac{X_1^2}{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2}$

W = X_{1}^{2}

$W=X_1^2$

Y = X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}

$Y=X_2^2+\cdots+X_n^2$

W

$W$

Y

$Y$

에는

분포 등이 있습니다. 내가 지금 당신의 요점을 받고 있습니까? 그래서 여기 혼란이 있습니다. 회전 불변 및 수정 개념을 사용하기 전에

Z = n \frac{W}{W + Y}

$Z=n\frac{W}{W+Y}$

β

$\beta$

— ssah

@ssah 내 추론의 응용 프로그램에서 메시지 :없이

분모, 그 분포는 임의의 회전에 더 이상 불변 없다

결론 그래서 더 이상 누르고 있습니다.

X_{1}^{2}

$X_1^2$

(X_{1}, \dots, X_{n}),

$(X_1,\ldots, X_n),$

— whuber

이 게시물은 질문에 대한 의견의 답변에 대해 자세히 설명합니다.

하자 . 단위 길이의 을 고정하십시오 . 이러한 벡터는 항상 직교 기초로 완성 될 수있다 (의 수단에 의해 그람 - 슈미트 과정 예를 들어,). 이 평범한 변화 (일반적인 것에서)는 직교입니다. 길이는 변하지 않습니다. 따라서 분포 $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\mathbf{e}_1\in\mathbb{R}^n$ $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$

\frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{| | X | |^{2}} = \frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{||X||^2}=\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

의존하지 않습니다 . 취하면 분포가 $\mathbf{e}_1$ $\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\ldots, 0)$

\begin{matrix} (1) & \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}} . \end{matrix}

$\frac{X_1^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}.\tag{1}$

때문에 정상을 IID, 그들은 기록 할 수 시간 표준 정규 변수 IID 자신의 제곱은 배 분포. 이후 의 합계 독립 분포 이다 $X_i$ $\sigma$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $\sigma^2$ $\Gamma(1/2)$ $n-1$ $\Gamma(1/2)$ $\Gamma((n-1)/2)$ , 우리는 의 분포 가 $(1)$

\frac{σ^{2} U}{σ^{2} U + σ^{2} V} = \frac{U}{U + V}

$\frac{\sigma^2 U}{\sigma^2 U + \sigma^2 V} = \frac{U}{U+V}$

여기서 및 는 독립적입니다. 되는 잘 알려진 이 비율이 있는지 베타 $U = X_1^2/\sigma^2 \sim \Gamma(1/2)$ $V = (X_2^2 + \cdots + X_n^2)/\sigma^2 \sim \Gamma((n-1)/2)$ 분포. (또한에 밀접하게 관련 스레드를 볼 수의 분포 경우 베타 및 카이 제곱으로 도.) $(1/2, (n-1)/2)$ $XY$ $X \sim$ $(1,K-1)$ $Y \sim$ $2K$

이후

X_{1} + \dots + X_{n} = (1, 1, \dots, 1) \cdot (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) = \sqrt{n} e_{1} \cdot X

$X_1 + \cdots + X_n = (1,1,\ldots,1)\cdot (X_1, X_2, \cdots, X_n) = \sqrt{n}\,\mathbf{e}_1\cdot X$

단위 벡터 ,는 $\mathbf{e}_1=(1,1,\ldots,1)/\sqrt{n}$ $Z$ 회 베타변량. $(\sqrt{n})^2 = n$ $(1/2, (n-1)/2)$ 들면그러므로 밀도 함수를 갖는다 $n\ge 2$

f_{Z} (z) = \frac{n^{1 - n / 2}}{B (\frac{1}{2}, \frac{n - 1}{2})} \sqrt{\frac{(n - z)^{n - 3}}{z}}

$f_Z(z) = \frac{n^{1-n/2}}{B\left(\frac{1}{2}, \frac{n-1}{2}\right)} \sqrt{\frac{(n-z)^{n-3}}{z}}$

간격 (그렇지 않으면 0입니다). $(0,n)$

확인으로, 및 대해 독립적 실현을 시뮬레이션 하고 히스토그램을 플로팅하고 해당 베타 밀도의 그래프를 빨간색으로 겹쳐서 표시했습니다. 계약은 훌륭합니다. $100,000$ $Z$ $\sigma=1$ $n=2,3,10$

R코드 는 다음과 같습니다 . 에 대한 공식 sum(x)^2 / sum(x^2)을 사용 하여 시뮬레이션을 수행합니다. 여기서는 길이가 벡터로 생성됩니다 . 나머지는 루핑 ( , ) 및 플로팅 ( , )입니다. $Z$ xnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— 우버
소스