기하 분포와 초기 하 분포를 왜 그렇게 부르는가?

기하 분포 와 초기 하 분포가 각각 "기하학적"및 "고 대칭 적"이라고 하는 이유는 무엇 입니까?

그들의 pmf가 특별한 형태를 취하기 때문입니까? 감사!

distributions terminology history

— 팀
소스

예, 용어는 확률 질량 함수 (pmfs)를 나타냅니다.

2,500 년 전에 유클리드는 ( 요소 8, 4 장에서 ) 공통 비율을 갖는 길이의 시퀀스를 연구했습니다. . 어떤 시점에서 이러한 시퀀스는 "기하학적 진행"으로 알려지게되었습니다 ( "기하학적"이라는 용어는 현재 "산술"이라고하는 것을 포함하여 다른 많은 일반 시리즈에 쉽게 적용되는 것과 비슷한 이유로 비슷한 이유가있을 수 있습니다).

모수 가진 기하 분포의 확률 질량 함수 는 기하 진행을 형성합니다. $p$

p, p (1 - p), p (1 - p)^{2}, \dots, p (1 - p)^{n}, \dots .

$p, p(1-p), p(1-p)^2, \ldots, p(1-p)^n, \ldots.$

여기서 공통 비율은 입니다. $1-p$

수백 년 전에 이러한 진보의 광대 한 일반화는 타원 곡선, 미분 방정식 및 많은 다른 상호 연결된 수학 영역의 연구에서 중요해졌습니다. 일반화는 위치 와 에서 연속되는 항들 사이의 상대적인 비율 이 변할 수 있다고 가정하지만, 그 변동의 특성을 제한합니다 : 비율은 주어진 합리적 함수 여야합니다 . 기하학적 진행 "을 넘어"이 "를 통해"이동하거나 (있는 합리적인 기능이 일정), 그들이이라고 되었기 때문에 초기 하 고대 그리스 접두사에서를 ( "하이퍼") . $k$ $k+1$ $k$ $\grave\upsilon^\prime\pi\varepsilon\rho$

모수 및 갖는 초 지오 함수의 확률 질량 함수 는 다음 형식을 갖습니다. $N, K,$ $n$

p (k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

$p(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

적합한 위해 . 따라서 연속 확률의 비율은 $k$

\frac{p (k + 1)}{p (k)} = \frac{(K - k) (n - k)}{(k + 1) (N - K - n + k + 1)},

$\frac{p(k+1)}{p(k)} = \frac{(K-k)(n-k)}{(k+1)(N-K-n+k+1)},$

정도 의 합리적 함수 . 이것은 확률을 (특정한 종류의) 초 기하학적 진행에 놓는다. $k$ $(2,2)$

— 우버
소스

감사! pmf가 기하 또는 초 기하학적 진행을 형성하는 다른 분포가 있습니까?

— Tim

pmf가 기하학적 진행을 형성하는 경우, 이동, 크기 조정 및 / 또는 잘린 기하학적 분포 여야합니다. 그것이 초 (2,2)의 초 기하학적 진행을 형성한다면 유사한 결론이 유지된다. 분포와 연관된있다 어떤 일련의 유한 값 합 등 많은 분포로 초기 하 분포의 일반화 때문에 (다른 유리 함수를 사용하여) 그. 그들 대부분은 이름이 없습니다. 한 가지 예외는 pmf가 (1,1)의 초 지오메트리 인 음 이항 분포 입니다.

— whuber

감사! 포아송 분포의 pmf는 특별한 시리즈 / 진행을 형성합니까? 속도 매개 변수가 인 Poission 분포가 주어지면 입니다. pmf는 특별한 시리즈 또는 진행을 형성합니까?

λ

$\lambda$

p (k + 1) / p (k) = λ / (k + 1)

$p(k+1)/p(k) = \lambda/(k+1)$

— Tim

그렇습니다, 그것은 정도 (0,1)의 합리적인 함수이므로 초 지오메트리 진행의 일반적인 정의에 적합합니다.

— whuber

하나의 소스에 따르면 , 기하 분포 pmf (k)가 pmf (k-1) 및 pmf (k + 1)의 기하 평균이기 때문입니다. 두 숫자 A와 B의 기하 평균은 입니다. 기본적으로이 문제는 기하학적 문제인 길이 A와 B의 변이있는 사각형과 면적이 같은 정사각형의 변의 길이를 찾는 것으로 해석되었습니다. $\sqrt{A B}$

— 아주 슈 아이
소스

당신의 출처는 내 대답의 시작 부분에서 내가 언급 한 일종의 추측에 의존합니다. 인터넷은 동일한 주장을하는 사람들로 가득 차 있지만, 기하학적 평균 과 같은 산술 평균 을 찾는 것은 기하학적으로 쉽기 때문에 결국이 속성 ( "기하학적"구성을 갖는)은 아무 것도 설명하지 않는 것으로 보입니다. 이러한 용어가 실제로 어떻게 발생했는지 이해하는 데 도움이되도록 "기하학적"및 "산술"의 실제 역사적 사용을 추적 할 수있는 권한을 찾는 것이 매우 흥미로울 것입니다.

— whuber