지수 가족 분포에 대해 평균과 분산이 항상 존재합니까?

스칼라 랜덤 변수 가 pdf를 가진 벡터 매개 변수 지수 군에 속 한다고 가정합니다 $X$

f_{X} (x | θ) = h (x) \exp (\sum_{i = 1}^{s} η_{i} (θ) T_{i} (x) - A (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

여기서 ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ 는 매개 변수 벡터이고 $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$ 는 충분한 통계량입니다.

각 대한 평균과 분산 $T_i(x)$ 이 존재 함을 알 수 있습니다. 그러나 대한 평균과 분산 $X$ (예 : $E(X)$ 및 $Var(X)$ )도 항상 존재합니까? 그렇지 않은 경우, 평균과 변수가 존재하지 않는이 양식의 지수 군 분포의 예가 있습니까?

감사합니다.

— 웨이
소스

촬영 , , 및 제공 제공 의 생산을 $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

그래프 에 대해 도시된다 (각각, 빨강, 파랑 및 금). $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$

이상의 절대 모멘트는 존재하지 않습니다. 이는 에 비례하는 . 는 경우에만 한계에 수렴 적분을 생성합니다 . 특히, 이 분포는 평균을 갖지 않습니다 (확실히 분산이 아님). $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$

— 우버
소스

조건을 이해하지 못합니다 . 을 의미 합니까? 일 때 가 정의되지 않고 가 음수이고 pdf가 될 수없는 경우 누락 된 내용을 알려주십시오. 감사.

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

— Wei

의 계산에서 빼기 기호가 생략 되었기 때문에 죄송 합니다. 나는 그것을 공식으로 대체했습니다. 나는 정말로 의미 합니다.

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$

— whuber

예를 들어 주셔서 감사합니다. 의 순간에 동의합니다 . 자체 의 순간은 어떻습니까? 예를 들면, 위의 예에서, 수행 존재를?

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$

E (x)

$E(x)$

— Wei

Lebesgue 적분은 정수의 양수 부분과 음수 부분으로 정의되므로 의 모멘트는 의 모멘트 인 경우에만 존재합니다. 있다.

x

$x$

| x |

$|x|$

— whuber

@Wei : 는 . 이 제한이 없으면 일부 CDF에 대한 기대 값이 고유하게 정의되지 않습니다.

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$

— Dennis