제곱 정규 변수와 카이 제곱 변수의 컨벌루션 분포?

최근 데이터를 분석하는 중에 다음과 같은 문제가 발생했습니다. 랜덤 변수 X가 정규 분포를 따르고 Y가 $\chi^2_n$ 분포 (n dof 포함)를 따르는 경우 $Z = X^2 + Y^2$ 는 어떻게 분포됩니까? 지금까지 나는 의 pdf를 생각해 냈습니다 . $Y^2$

\begin{array}{rcl} ψ_{n}^{2} (x) & = & \frac{\partial F (\sqrt{x})}{\partial x} \\ = & {(\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{t^{n / 2 - 1} \cdot e^{- t / 2}}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} d t)}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} \cdot {(\sqrt{x})}^{n / 2 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \cdot {(\sqrt{x})}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2 - 1} Γ (n / 2)} \cdot x^{n / 4 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi^2_n(x) &=& \frac{\partial F(\sqrt{x})}{\partial x} \\ &=& \left( \int_0^{\sqrt{x}} \frac{t^{n/2-1}\cdot e^{-t/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \mathrm{d}t \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^{n/2-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2-1}\Gamma(n/2)} \cdot x^{n/4-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \end{eqnarray}$

컨볼 루션 적분에 대한 단순화뿐만 아니라 에는 m dof와 함께 pdf 이 있습니다. $X^2$ $\chi^2_m$

\begin{array}{rcl} K_{m n} (t) & := & (χ_{m}^{2} * ψ_{n}^{2}) (t) \\ = & \int_{0}^{t} χ_{m}^{2} (x) \cdot ψ_{n}^{2} (t - x) d x \\ = & {(2^{\frac{(n + m)}{2} + 1} Γ (\frac{m}{2}) Γ (\frac{n}{2}))}^{- 1} \cdot \int_{0}^{t} (t - x)^{\frac{n}{4} - 1} \cdot x^{\frac{m}{2} - 1} \cdot \exp (- (\sqrt{t - x} + x) / 2) d x \end{array}

$\begin{eqnarray} K_{mn}(t) &:=& ( \chi^2_m \ast \psi^2_n )(t) \\ &=& \int_0^t \chi^2_m(x) \cdot \psi^2_n(t-x) \mathrm{d}x \\ &=& \left( 2^{\frac{(n+m)}{2}+1} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) \right)^{-1} \cdot \int_0^t (t-x)^{\frac{n}{4}-1} \cdot x^{\frac{m}{2}-1} \cdot \exp(-(\sqrt{t-x}+x)/2) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$

누군가 실제에 대해이 적분을 계산하는 좋은 방법을 보거나 수치로 계산해야합니까? 아니면 훨씬 간단한 솔루션이 누락 되었습니까?

— 레오 스질 라드
소스

가 제곱이 아닌 경우 특정 조언이 필요합니다. 나는 이것이 다루기 쉬운 것이라고 생각하지 않습니다 (견인 가능성이 있음에도 불구하고 반드시 깨달음). 결과로 무엇을하고 싶은지에 따라 수치 적 컨볼 루션이나 시뮬레이션과 같은 계산적 접근 방식을보고 싶은 유혹을 느낍니다.

Y

$Y$

— Glen_b-복지국 Monica

내 생각으로는 적분이 이루어질 수 있다고 생각하지는 않는다.

— Dave31415

Dave31415 들어 @

하고

심지어 적분 명시 양성 정수 값에 대해 계산 될 수있는

및

다항식 인 계수와 지수 및 오차 함수의 선형 조합과 같습니다.

n

$n$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

치환을 통해 평가를 수행 할 수 있습니다. 예를 들어, 함께

우리 구

\sqrt{t}

$\sqrt{t}$

x = t - u^{2}

$x=t-u^2$

n = 2, m = 4

$n=2,m=4$

\frac{1}{4} e^{- \frac{1}{8} (2 \sqrt{t} + 1)^{2}} (e^{\frac{\sqrt{t}}{2}} (\sqrt{2 π} (4 t + 3) (erfi (\frac{2 \sqrt{t} - 1}{2 \sqrt{2}}) + erfi (\frac{1}{2 \sqrt{2}})) + 4 e^{\frac{1}{8}}) - 4 e^{\frac{t}{2} + \frac{1}{8}} (2 \sqrt{t} + 1))

$\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{8}(2\sqrt{t}+1)^2}(e^{\frac{\sqrt{t}}{2}}(\sqrt{2\pi} (4t+3)(\text{erfi}(\frac{2\sqrt{t}-1}{2\sqrt{2}})+\text{erfi}(\frac{1}{2\sqrt{2}}))+4e^\frac{1}{8})-4 e^{\frac{t}{2}+\frac{1}{8}}(2\sqrt{t}+1))$

— whuber

좋은. 홀수의 경우 짝수를 묶는 결과의 평균으로 근사 할 수 있습니까? 아니면 아닐 수도 있습니다.

— Dave31415

답장을 보내 주셔서 감사합니다! 심지어 짝수의 경우에 도슨의 기능과 관련된 비슷한 결과를 얻었지만, 일반적인 해결책을 위해 더 많은 작업을 수행해야 할 것 같습니다 ...

— Leo Szilard

도움이되는 경우, 변수 는 일반화 된 감마 랜덤 변수입니다 (예 : Stacy 1962 참조). 귀하의 질문은 카이 제곱 랜덤 변수와 일반화 된 감마 랜덤 변수의 합의 분포를 요구합니다. 내 지식으로는, 결과 변수의 밀도에는 닫힌 양식 표현이 없습니다. 따라서, 얻은 컨볼 루션은 닫힌 양식 솔루션이없는 필수 요소입니다. 나는 당신이 이것에 대한 수치 해법을 고수 할 것이라고 생각합니다. $Y^2$

스테이시, EW (1962). 감마 분포의 일반화. 수학 통계 연보 33 (3) , pp. 1187-1192.

— 복원 모니카
소스

이것은 힌트 일뿐입니다. Pearson 유형 III은 카이 제곱 일 수 있습니다. 때로는 자체와 무언가를 모아서 회선을 찾을 수 있습니다. 나는 ND와 GD 를 진화 시키기 위해 이것을 수행 했다. 이것이 ND 및 Chi-Squared 와 어떻게 작동 하는지 잘 모르겠습니다. 그러나 힌트를 요청하면 일반적인 힌트입니다. 시작하기에 충분해야합니다. $^2$

— 칼
소스

이것이 어떻게 질문에 대답하는지 설명해 주시겠습니까? 직접 관련이없는 것 같습니다.

— whuber

피어슨 III 형 컨볼 루션 자체를 수행 할 수 있습니다. 어떤 이유로 자신과 하나의 것을 연결하는 것이 하나의 것을 다른 것과 연결하는 것보다 해결하기가 더 쉽습니다. 예를 들어, 나는 Pearson type III의 컨볼 루션을 해결하고 관련 문제인 GD와 ND의 컨볼 루션을 얻었습니다.

— Carl

도움이되지 않은 것 같습니다. 곧 삭제됩니다.

— Carl