균일 분포와 정규 분포의 비율은 얼마입니까?

하자 균일 한 분포를 따라 정규 분포를 따른다. 에 대해 무엇을 말할 수 있습니까? 배포판이 있습니까? $X$ $Y$ $\frac X Y$

평균 0의 두 법선의 비율이 Cauchy라는 것을 알았습니다.

— rrpp
소스

가치있는 것은 의 분포를 슬래시 분포 라고합니다 . 상호가 이름이나 닫힌 양식을 가지고 있는지 모르겠습니다.

Y / X

$Y/X$

— David J. Harris

그리고 둘 다 속하는 큰 클래스는 비율 분포 인 것 같습니다 !

— Nick Stauner

@ DavidJ.Harris 아주 그렇습니다; +1. 견고성 연구에서 슬래시가 몇 번 사용되는 것을 보았습니다. 어쩌면 - 역 슬래시로 -은 "호출 할 필요가 백 슬래시 유통 ".

X / Y

$X/Y$

— Glen_b-복지 주 모니카

@rrpp 표준 또는 일반적인 있습니까? 후자라면, 우리는 , 등 인지 알아야합니다 .

U n i f o r m (0, 1)

$Uniform(0,1)$

U n i f o r m (a, b)

$Uniform(a,b)$

a > 0

$a>0$

a < 0

$a<0$

— wolfies

답변 해 주셔서 감사합니다. @wolfies 는 이고 는 양의 평균을

X

$X$

U n i f o r m (0, 1)

$Uniform(0,1)$

Y

$Y$

— 나타냅니다

답변:

임의 변수 을 pdf 하자 : $X \sim \text{Uniform}(a,b)$ $f(x)$

여기서 나는 라고 가정했다 (이것은 표준 경우를 중첩 ). [매개 변수 이면 다른 결과를 얻을 수 있지만 절차는 동일합니다. ] $0<a<b$ $\text{Uniform}(0,1)$ $a<0$

또한 , pdf 이라고하자 : $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ $W=1/Y$ $g(w)$

그런 다음 곱 의 pdf를 찾고 라고 말하면 다음과 같습니다. $V = X*W$ $h(v)$

여기서 mathStatica 의 TransformProduct기능을 사용 하여 핵심 기능을 자동화 Erf하고 오류 기능을 나타냅니다. http://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html

다 했어요

줄거리

다음은 PDF의 두 가지 플롯입니다.

줄거리 1 : , , ... 그리고 ... $\mu = 0$ $\sigma = 1$ $b = 3$ $a = 0, 1, 2$

플롯 2 : , , , $\mu = {0,\frac12,1}$ $\sigma = 1$ $a=0$ $b = 1$

몬테카를로 체크

다음은 Plot 2 사례에 대한 빠른 Monte Carlo 검사입니다. , , ,
$\mu = \frac12$ $\sigma = 1$ $a=0$ $b = 1$

파란색 선은 실험적인 Monte Carlo pdf이고 빨간색 파선은 위의 이론적 인 pdf 입니다. 잘 보인다 :) $h(v)$

— 늑대
소스

및 에서 첫 번째 원리에서 분포를 찾을 수 있습니다. 의 누적 확률 함수를 고려하십시오 . $Z=\frac{X}{Y}$ $X\sim U[0,1]$ $Y \sim N(\mu,\sigma^2)$ $Z$

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) = P (\frac{X}{Y} \leq z)

$F_Z(z) = P(Z\le z) = P\left(\frac{X}{Y} \le z \right)$

두 경우 및 고려하십시오 . 경우 , 다음 . 마찬가지로 이면 합니다. $Y>0$ $Y<0$ $Y>0$ $\frac{X}{Y}\le z\implies X \le zY$ $Y<0$ $\frac{X}{Y}\le z\implies X \ge zY$

이제 우리는 알고 있습니다. 위의 확률을 찾으려면 및 고려하십시오 . $-\infty<Z<\infty$ $z>0$ $z<0$

경우 , 그 확률의 결합 분포의 적분으로서 표현 될 수있다 아래에 도시 된 영역 위에. (불평등 사용) $z>0$ $(X,Y)$

통합 지역

따라서 여기서 는 의 분포 함수입니다 .

F_{Z} (z) = \int_{0}^{1} \int_{x / z}^{\infty} f_{Y} (y) d y d x + \int_{0}^{1} \int_{- \infty}^{0} f_{Y} (y) d y d x

$F_Z(z) = \int_0^1 \int_{x/z}^\infty f_Y(y) dy dx + \int_0^1 \int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy dx$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

Y

$Y$

위의 미분을 통해 의 분포 함수를 찾으십시오 . $Z$

\begin{aligned} f_{Z} (z) & = \frac{d}{d z} \int_{0}^{1} [F_{Y} (\infty) - F_{Y} (\frac{x}{z})] d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial z} [F_{Y} (\infty) - F_{Y} (\frac{x}{z})] d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{x}{z^{2}} f_{Y} (\frac{x}{z}) d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{2 π} σ z^{2}} \exp (- \frac{{(\frac{x}{z} - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}) d x \end{aligned}

$\begin{align*} f_Z(z) &= \frac{d}{dz}\int_0^1 \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{\partial}{\partial z} \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{z^2} f_Y\left(\frac{x}{z}\right) dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma z^2} \exp \left( - \frac{\left( \frac{x}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) dx \end{align*}$

위의 적분은 다음과 같은 변환 시퀀스를 사용하여 평가할 수 있습니다.

보자 $u=\frac{x}{z}$
하자 $v=u-\mu$
두 적분 한 결과에 일체 별개 만 지수, 그리고 하나 지수 승산. $v$ $v$

결과 적분을 단순화하여

f_{Z} (z) = \frac{σ}{\sqrt{2 π}} [\exp (\frac{- μ^{2}}{2 σ^{2}}) - \exp (\frac{- {(\frac{1}{z} - μ)}^{2}}{2 σ^{2}})] + μ [Φ (\frac{\frac{1}{z} - μ}{σ}) - Φ (\frac{- μ}{σ})]

$f_Z(z) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\left[ \exp\left(\frac{-\mu^2}{2\sigma^2}\right)-\exp\left(\frac{-\left(\frac{1}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right) \right] + \mu \left[ \Phi\left(\frac{\frac{1}{z}-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right) \right]$

여기서 는 표준 법선의 누적 분포 함수입니다. 경우 대해 동일한 결과가 나타납니다 . $\Phi(x)$ $z<0$

이 답변은 시뮬레이션으로 확인할 수 있습니다. R의 다음 스크립트가이 작업을 수행합니다.

n <- 1e7
mu <- 2
sigma <- 4

X <- runif(n)
Y <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

Z <- X/Y
# Constrain range of Z to allow better visualization 
Z <- Z[Z>-10]
Z <- Z[Z<10] 

# The actual density 
hist(Z, breaks=1000, xlim=c(-10,10), prob=TRUE)

# The theoretical density
r <- seq(from=-10, to=10, by=0.01)
p <- sigma/sqrt(2*pi)*( exp( -mu^2/(2*sigma^2)) - exp(-(1/r-mu)^2/(2*sigma^2)) ) + mu*( pnorm((1/r-mu)/sigma) - pnorm(-mu/sigma) )

lines(r,p, col="red")

확인을위한 몇 가지 그래프는 다음과 같습니다.

용 $Y\sim N(0,1)$
용 $Y\sim N(1,1)$
를 들어 $y\sim N(1,2)$

주위의 그래프에서 볼 수있는 이론적 대답의 언더 슈팅 은 아마도 제한된 범위 때문일 것입니다. 그렇지 않으면 이론적 대답은 시뮬레이션 된 밀도를 따르는 것 같습니다. $z=0$

— Comp_Warrior
소스

+1 아주 좋아요! 기본 원칙에서 파생 된 내용은 항상 만족스럽고 그래픽을 통해 독자가 현재하고있는 일을 즉시 파악할 수 있습니다.

— whuber

슬래시 분포의 역수 (또는 Glen_b의 "백 슬래시 분배!"@) 비율 분포의 종류 외에도, 나도 그것을 호출할지 모르겠지만, R. 한 버전을 시뮬레이션 할 수 있습니다
당신이 긍정적를 지정하기 때문에 평균 , 나는 하여 대부분의 샘플에서 을 사용 합니다. 물론 다른 가능성도 존재합니다. 예를 들어, 은 범위를 1 이상으로 확장하고 은 음의 값으로 확장합니다. ^{(느린 컴퓨터의 크기를 줄이십시오! 또는}^{방법을 알고 있다면}^사용^{하십시오!)} $Y$ $Y=\mathcal N(7,1)$ $\min(Y)>1$ $N\le1\rm M$ $Y<1$ $\frac X Y$ $Y<0$ set.seed(1);x=rbeta(10000000,1,1)/rnorm(10000000,7);hist(x,n=length(x)/50000)
^runif

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

— 닉 스 타우너
소스

극단적 인 꼬리는 밀도를 높이고 있습니다. 분포는 오히려 코시와 같습니다. (호기심에서, 왜 사용하지 runif않습니까? 더 관용적이고 더 빠를 것 같습니다)

— Glen_b-복지국 Monica

나는 여전히 R에 대해 많이 알지 못하기 때문에 분명히! :) 팁 고마워!

— Nick Stauner

걱정 마. 속도의 차이는 크지 않지만 10 ^ 7 요소로 충분히 알아볼 수 있습니다. ( hist(x,n=length(x),xlim=c(-10,10)))를 살펴볼 가치가있는 막대 그래프를 찾을 수 있습니다 ( 분포의 약 96 %가 해당 한계 내에있는 것 같습니다)

— Glen_b -Reinstate Monica

와! 충분합니다. 이 밀도 플롯을 매우 오도하게 만듭니다. 히스토그램으로 편집하겠습니다.

— Nick Stauner

오 알았어 걱정 마. 이 경우 nclass를 더 작게 만들고 싶을 수도 있습니다. 이상적으로 막대는 매우 좁지 만 검은 선이 아니라고 생각합니다.

— Glen_b-복지국 Monica