분포가 어떻게 무한 평균과 분산을 가질 수 있습니까?

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다음과 같은 예를들 수 있다면 감사하겠습니다.

무한 평균 및 무한 분산을 갖는 분포.
무한 평균 및 유한 분산을 갖는 분포.
유한 평균과 무한 분산을 갖는 분포입니다.
유한 평균과 유한 분산을 갖는 분포.

필자는 Wilmott 포럼 / 웹 사이트 에서 읽고, 인터넷 검색하고 스레드를 읽는 기사에 사용 된 익숙하지 않은 용어 (무한 평균, 무한 분산)를 보고 충분히 명확한 설명을 찾지 못했습니다. 나는 또한 내 자신의 교과서에서 어떤 설명도 찾지 못했습니다.

distributions variance mean

— user1205901-복원 Monica
소스

1

위 목록에서 사례 2는 불가능합니다.

— kjetil b halvorsen 2016 년

관련 : stats.stackexchange.com/questions/94402/…

— kjetil b halvorsen

1

의 가능한 중복 유한과 무한 분산의 차이점은 무엇

— 할보 르센 kjetil B

2

이 네 가지 구체적인 예를 요구함으로써, 나는 이것이 분명한 질문이라고 생각하고 다른 질문은 확실히 관련이 있고 도움이 되더라도 중복으로 닫혀서는 안된다고 생각합니다.

— Silverfish

1

4 개의 예 중 1, 3 및 4 만 실제로 가능하며 1과 4에 대해 쉬운 예를 제공 할 수 있습니다. Cauchy는 1의 예이고 Gaussian은 4의 예입니다. 분산이 명확하게 정의되는 것은 불가능합니다 .mean이없는 경우 따라서 2는 불가능합니다. 3의 예는 구성하기에 흥미로울 것입니다.

— Michael Chernick

52

평균과 분산은 적분 측면에서 정의됩니다. 평균 또는 분산이 무한하다는 것은 그 적분 의 제한 동작에 대한 진술입니다.

$\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$ $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

예를 들어 꼬리가 "충분히 무거운"경우에 발생할 수 있습니다. 유한 / 무한 평균 및 분산의 4 가지 경우에 대해 다음 예를 고려하십시오.

무한 평균 및 무한 분산을 갖는 분포.

예 : 파레토 분포 와 , 제타 (2) 분포. $\alpha= 1$
무한 평균 및 유한 분산을 갖는 분포.

불가능합니다.
유한 평균과 무한 분산을 갖는 분포입니다.

예 : 분포 . 파레토 . $t_2$ $\alpha=\frac{3}{2}$
유한 평균과 유한 분산을 갖는 분포.

예 : 모든 정상. 모든 유니폼 (실제로 경계 변수에는 모든 순간이 있습니다). . $t_3$

적분이 정의되지 않은 분포를 가질 수도 있지만 반드시 한계의 모든 유한 경계를 넘어서는 것은 아닙니다.

Charles Geyer 의이 노트 는 간단한 용어로 관련 적분을 계산하는 방법에 대해 설명합니다. Riemann 적분을 다루고있는 것으로 보입니다. 여기에는 연속적인 사례 만 포함되지만 더 일반적인 적분 정의 (예 : Stieltjes)는 필요할 가능성이있는 모든 사례를 다룰 것입니다 [Lebesgue 적분은 측정 이론에 사용되는 적분 형태입니다 (확률에 기초를 두지 만) 여기서 요점은 더 기본적인 방법으로 잘 작동합니다]. 또한 왜 "2"(2.5 절, p13-14)도 다룹니다. 불가능합니다 (분산이 존재하는 경우 평균이 존재 함).

— 글렌 _b
소스

7

+1 (2)가 불가능한 이유는 사소합니다. 분산은 평균으로 정의됩니다. 의 두 번째 모멘트 가 유한하면 평균이 유한해야 한다는 사실이 약간 더 깊습니다 . 평균 무한하고 있는지 들어 한층 유력한 이유로 제 모멘트의 값이 가중되므로 차 모멘트 무한 있어야 확률로 또한 의해서도 자체 ( ). 이 가중치는 제한없이 커지므로 두 번째 모멘트는 결국 첫 번째 모멘트의 절대 값을 초과합니다.

X

$X$

X

$X$

X

$X$

X^{2} = X \times X

$X^2 = X\times X$

— whuber

4

@whuber 그러나 평균을 참조하지 않고 분산을 정의 할 수 있으므로 (예 : 값 쌍의 제곱 차이 기대와 같은) 문제는 그다지 사소하지 않습니다. 두 번째 주장과 같은 것이 실제로 필요합니다.

— Glen_b

3

좋은 지적이지만 분산의 대체 정의가 모든 분포에 대한 일반적인 정의와 대수적으로 동일하다는 것을 받아들이면 논리적으로 하나의 정의에 따라 정의되지 않은 경우 논리적으로 충분히 정의되지 않은 것으로 보입니다. 그들 모두에게. 앞서 언급 한 것과 같은 대안이 다양한 정의가 동일하지 않은 확률 론적 프로세스를 연구하고 있습니다.

— whuber

2

네 저도 그렇습니다. 음이 아닌 임의 변수를 기대하는 분산 은 양수 부분 의 Lebesgue 적분 과 같습니다 . 따라서 상관없이 유한 또는 무한대 (확장 된 수 행)입니다. 음이 아닌 속성은 짝수 순간의 분석을 정의 할 수없는 다른 순간의 분석과 구별합니다.

— whuber

2

분산의 정의는 .

E [(X - E (X))^{2}]

$\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]$

— whuber

5

안정적인 분포 는 찾고자하는 것에 대한 훌륭한 파라 메트릭 예를 제공합니다.

무한 평균 및 분산 : $0 < \text{stability parameter} < 1$
해당 없음
유한 평균 및 무한 분산 : $1 \leq \text{stability parameter} < 2$
유한 평균 및 분산 : (가우스) $\text{stability parameter} = 2$

— 스티브 슐리스트
소스

1

여기서 상트 페테르부르크 역설을 언급 한 사람은 없습니다. 그렇지 않으면 하나의 "허용 된"답변을 포함하여 이미 여러 답변이있는이 스레드에 게시하지 않습니다.

동전이 "머리"에 도달하면 1 센트를받습니다.

"꼬리", 승리는 두 배가되고 두 번째 던지기에서 "머리"가되면 2 센트를받습니다.

두 번째로 "꼬리"가되면 다시 이기고 두 번째로 "머리"가되면 4 센트를받습니다.

등등 : 제품의 합계는 이므로 무한한 기대 값입니다 .

\begin{array}{rccc} outcome & winnings & probability & product \\ H & 1 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ TH & 2 & 1 / 4 & 1 / 2 \\ TTH & 4 & 1 / 8 & 1 / 2 \\ TTTH & 8 & 1 / 16 & 1 / 2 \\ TTTTH & 16 & 1 / 32 & 1 / 2 \\ TTTTTH & 32 & 1 / 64 & 1 / 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array}

$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = + \infty,

$\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$

즉 , 동전 던지기 백만 또는 조 등 을 지불 하면 궁극적으로 나옵니다. 매번 몇 센트 이상을 이길 수 없을 때 어떻게 될 수 있습니까? $\$1$ $\$1$

대답은 매우 드문 경우이지만, 긴 꼬리를 얻을 수 있기 때문에 상금은 귀하가 발생한 엄청난 비용을 보상 해 줄 것입니다. 그것은 당신이 각 던지기에 대해 지불하는 가격이 아무리 높아도 마찬가지입니다.

— 마이클 하디
소스

-1

찾고있는 두 번째 분포에 대해서는 확률 변수 를 고려한 다음 대답은 확률 1로 무한하므로 분산은 0이며 평균은 분포 값은 무한합니다.

X_{2} = number of times you can zoom in like 10cm into a fractal

$X_2 = \text{number of times you can zoom in like 10cm into a fractal}$

— 미스터 조
소스

흥미로운 예이지만 계산에는 인 확장 실수 시스템이 필요합니다 .

\infty - \infty = 0

$\infty - \infty=0$

— kjetil b halvorsen