북 메이커가 축구 경기에 대한 확률을 잘못 판단 할 가능성은 무엇입니까?

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잉글랜드 축구 팀은 다양한 능력을 가진 다른 상대와 일련의 경기를합니다. 북 메이커는 각 경기마다 홈 승리, 원정 승리 또는 무승부 여부에 대해 배당률을 제공합니다. 시즌 내내 팀은 경기를 치렀으며 를 뽑았 는데 이는 예상보다 많을 것으로 예상됩니다. $n$ $k$

북 메이커가 운이 좋지 않은 것보다 이러한 경기의 승률을 잘못 책정 할 확률은 얼마입니까? 북 메이커가 팀의 남은 경기를 비슷한 방식으로 계속해서 가격을 책정하고 각각이 추첨이 될 걸면 내 예상 수익은 무엇입니까? $\$1$

probability games gambling

— 로드리고 데 아예 베도
소스

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이전에 요청 math.stackexchange.com/q/31871/18398

— 조엘 레예스 올를

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질문에 대한 답변은 어떤 정보와 가정을 사용 하느냐에 따라 복잡합니다. 게임의 결과는 매우 복잡한 과정이기 때문입니다. 어떤 정보가 있는지에 따라 임의로 복잡해질 수 있습니다.

특정 팀의 플레이어-아마도 특정 플레이어 조합도 관련이있을 수 있습니다.
다른 팀의 플레이어
리그의 과거 역사
팀의 선수 수는 얼마나 안정적입니까-선수를 계속 선발하겠습니까, 아니면 11 명입니까?
베팅을 한 시간 (게임 도중? 이전? 얼마 전에? 어떤 정보가 내기 전에 잃어 버렸습니까?)
내가 생략했던 축구의 다른 관련 기능.

북 메이커가 줄 확률은 북 메이커 확률을 반영하지 않습니다. 그들이 확률이라면 불가능합니다. 북 메이커는 무승부에 베팅 할 때 배당률을 조정하고 누군가가 무승부에 베팅 할 때 배당률을 조정합니다. 따라서 확률은 도박꾼 (그 북 메이커를 사용하는 사람)의 확률을 전체적으로 반영한 것입니다. 따라서 그 자체로 가격이 잘못 책정되는 것은 북 메이커가 아니라 도박 집단 또는 "평균 도박꾼"입니다.

이제 "인과 적 메커니즘"으로 인해 추첨을 초래하는 모든 것이 계절 내내 일정하게 유지된다고 가정한다면 (합리적입니까? 아마도 아닐 수도 있습니다), 간단한 수학 문제가 발생합니다 (그러나 이에 대한 이유는 없습니다. 다른 단순화 가정보다 "더 옳다". 이것이 사용되는 가정임을 상기시키기 위해 , 확률의 컨디셔닝 측면에 가 놓일 것입니다. 이 가정 하에서 이항 분포는 다음과 같이 적용됩니다. $A$

P (k Draws in n matches | θ, A) = (\binom{n}{k}) θ^{k} (1 - θ)^{n - k}

$P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)={n \choose k}\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}$

그리고 우리는 다음을 계산하고 싶습니다

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A)

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)$

= \int_{0}^{1} P (next match is a draw | θ, A) P (θ | k Draws in n matches, A) d θ

$=\int_{0}^{1}P(\text{next match is a draw}|\theta,A)P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)d\theta$

여기서

P (θ | k Draws in n matches, A) = P (θ | A) \frac{P (k Draws in n matches | θ, A)}{P (k Draws in n matches | A)}

$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=P(\theta|A)\frac{P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)}{P(\text{k Draws in n matches}|A)}$

의 후부입니다 . 이제이 경우에는 추첨이 일어날 수 있고 일어날 수 없다는 것이 명백합니다. 따라서 우리는 시즌 결과를 넘어서 포함하고 싶은 추가 정보가 없다면 균일 한 사전이 적절합니다. ) 및 . 그런 다음 후자는 베타 분포에 의해 주어집니다 (여기서 는 베타 함수입니다 ) $\theta$ $P(\theta|A)=1$ $B(\alpha,\beta)$

P (θ | k Draws in n matches, A) = \frac{θ^{k} (1 - θ)^{n - k}}{B (k + 1, n - k + 1)}

$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}$

주어진 와 는 다음 경기가 무승부 일 확률은 이므로 적분은 다음과 같습니다. $\theta$ $A$ $\theta$

\int_{0}^{1} θ \frac{θ^{k} (1 - θ)^{n - k}}{B (k + 1, n - k + 1)} d θ = \frac{B (k + 2, n - k + 1)}{B (k + 1, n - k + 1)} = \frac{k + 1}{n + 2}

$\int_{0}^{1}\theta \frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}d\theta=\frac{B(k+2,n-k+1)}{B(k+1,n-k+1)}=\frac{k+1}{n+2}$

따라서 확률은 다음과 같습니다.

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A) = \frac{k + 1}{n + 2}

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{k+1}{n+2}$

그러나 그것은 가정 된 달려 있습니다. 와 같은 다른 알려지지 않은 복잡한 정보에 대한 조건부 확률로 "가격이 책정 된 확률"이라고 부릅니다 . 따라서 발표 된 확률이 위의 분수 와 다르면 와 가 서로 다른 결론으로 이어 지므로 둘 다 "실제 결과"에 대해 맞지 않을 수 있습니다. ). $A$ $B$ $A$ $B$

킬러 블로우

이 예는 귀하의 질문에 대한 답변 이 축구 경기의 메커니즘을 설명 할 때 가 보다 "정확한" 것인지 결정하는 것으로 되었습니다. 발의안 가 무엇인지에 관계없이 이런 일이 일어날 것 입니다. 우리는 항상 "도박 집단 또는 내 가정이 누구의 가정이 옳은가?"라는 질문으로 귀결됩니다. 이 마지막 질문은 제안 무엇으로 구성되어 있는지 (또는 적어도 일부 주요 기능)를 정확히 알 때까지 기본적으로 대답 할 수없는 질문 입니다. 알려진 것과 다른 것을 어떻게 비교할 수 있습니까? $A$ $B$ $A$ $B$

업데이트 : 실제 답변 :)

@ whuber가 유쾌하게 지적했듯이 실제로 여기에 예상 값을주지 않았습니다.이 부분은 단순히 내 대답의 해당 부분을 완성합니다. 만약 가격이 확률이 인 가 참 이라고 가정한다면 , 다음 게임에서 를받을 것으로 예상됩니다 $A$ $Q$

Q \times P (next match is a draw | k Draws in n matches, A) - 1

$Q\times P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)-1$

= Q \times \frac{k + 1}{n + 2} - 1 = \frac{Q (k + 1) - n - 2}{n + 2}

$=Q\times \frac{k+1}{n+2}-1=\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$

당신이 가치 있다고 가정하면 이제 당신과 같은 모델을 기반으로 우리는 방법을 정확하게 예측할 수 미래로 변경됩니다. 가 균일 한 이전의 다른 것에 기초 한다고 가정합니다 예 : . 그러면 해당 확률은 $Q$ $Q$ $Q$ $Beta(\alpha_Q,\beta_Q)$

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A_{Q}) = \frac{k + α_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A_Q)=\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

예상

\frac{Q (k + α_{Q}) - n - α_{Q} - β_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$\frac{Q(k+\alpha_Q)-n-\alpha_Q-\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

이제 "사전 가중치"를 설정하면 여기서 은 계절의 길이입니다 ( 여기서 "미스 "는 남은 시즌까지 계속됩니다). 예상 수익을 0으로 설정하십시오. $\alpha_Q+\beta_Q = \frac{N}{2}$ $N$

α_{Q} = \frac{2 n + N}{2 Q} - k

$\alpha_Q=\frac{2n+N}{2Q}-k$

(참고 : 실제 모델이 아닌 경우, 는 시간이 지남에 따라 변하는 에 계산이 수행 된 시점에 따라 달라집니다 ). 이제 가 미래에 어떻게 조정 될지 예측할 수 있습니다. 각 일치에 대해 분모에 을 추가 하고 일치가 무승부 일 경우 분자에 을 추가합니다. 따라서 첫 경기 후 예상되는 확률은 다음과 같습니다. $\alpha_Q$ $n,k,Q$ $Q$ $1$ $1$

(1 + \frac{n + β_{Q} - k + 1}{k + α_{Q}}) \frac{n - k + β_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}} + (1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q} + 1}) \frac{k + α_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$(1+\frac{n+\beta_Q-k+1}{k+\alpha_Q})\frac{n-k+\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}+(1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q+1})\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

= 1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q}} (1 + \frac{2}{(2 n + N) (k + α_{Q} + 1)}) \approx 1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q}}

$=1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}\left(1+\frac{2}{(2n+N)(k+\alpha_Q+1)}\right)\approx 1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}$

시즌 내내 큰 변화는 없을 것입니다. 이 근사값을 사용하여 시즌의 나머지 기간 동안 다음과 같이 예상 수익을 얻습니다.

(N - n) \frac{Q (k + 1) - n - 2}{n + 2}

$(N-n)\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$

그러나 이것은 지나치게 단순한 추첨 모델을 기반으로한다는 점을 기억하십시오 (참고 : 이것이 반드시 "거짓"예측자가 될 것이라는 것을 의미하지는 않습니다). 특정 모델이없고 특정 사전 정보가 없기 때문에 귀하의 질문에 대한 고유 한 답변은 없습니다 (예를 들어, 얼마나 많은 사람들이이 서적을 사용합니까? 지정된 유일한 것은 한 시즌의 데이터이며 "일부 지정되지 않은 모델"의 확률은 승산 가격에 의해 암시 된 것과 일치하지 않습니다.

— 확률 론적
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북 메이커는 오버 라운드를 사용하므로 실제로 무엇이든이기 때문에 결과가 무엇인지 신경 쓰지 않습니다. 당신이 가난한 부기를 만나지 않는 이유입니다. 북 메이커가 잘못된 가격을 책정한다면, 수익을 올릴 수있는 능력은 북 메이커가 제공 한 확률과 생성 된 이윤이 잃어버린 시간을 감당할 것인지의 여부에 달려 있습니다.

— 파 버리
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문제는 도박꾼의 기대 수익률이 아닌 마권업자의 기대 수익률을 요구하기 때문에, 사실,하지만 대부분 관련이있을 수 있습니다

— probabilityislogic

@probability 그래서 입니다 도박꾼의 기대 수익은? 답장에서 찾을 수 없습니다 :-).

— whuber