'비선형'이란 무엇입니까?

나는 종종 함수가 '높은 비선형 적'인 것에 대해 읽었습니다. 내 이해에는 "선형"과 "비선형"이 있는데 이것이 무엇에 대한 것입니까? 비선형과 공식적인 차이점이 있습니까? 어떻게 정의 되나요?

나는 공식적인 정의가 없다고 생각합니다. 그것은 단지 비선형 일뿐 만 아니라 선형 근사로 모델링하려고 시도해도 합리적인 결과를 얻지 못하고 피팅 방법의 불안정성을 초래할 수 있음을 내 인상이라고 생각합니다. 누군가는 단순히 작은 입력 변경으로 인해 출력이 반 직관적으로 크게 변경 될 수 있음을 의미하기 위해이를 사용할 수도 있습니다.

공식적인 의미에서, 나는 2 차 도함수가 실질적으로 0과 다르다고 말할 수 있다고 믿는다. 0이 관심 영역에 대한 2 차 도함수에 대한 "합리적인"근사치 인 경우 선형에 가깝지만 그렇지 않은 경우 비선형 효과를 포착하는 것이 매우 중요합니다.

이 같은 용어는 비교적 간단한 다항식에 적용되는 경우가 거의 없으며, 실제 사용에서는 발산 역학 시스템 (혼돈 이론 종류) ​​또는 매우 평활하지 않은 함수 (많은 고차 미분이 0이 아닌 경우)에 적용되는 것으로 보입니다. ).

다른 훌륭한 답변에서 빠진 중요한 측면은 도메인 입니다. 예를 들어, 는$f(x)=x^2$

• 에서 비선형 적이 지만$[-10;10]$
• 하지 어느 도메인의 절반 (즉, 모두, 및 하나의 가능성의 선형 근사를 사용하여 즉시 장애없이).[ 0 ; 10 ] $[-10;0]$$[0;10]$$f$

또 다른 예는 입니다.$f(x)=x^3-x$

• 에서 비선형 이지만$[-1;1]$
• 더 큰 영역 에 있지 않음$[-10;;10]$

$y=f(x)$$\sigma^2=var[x]$$f(x+\sigma)\approx f(x)+f'(x)\sigma$$f(x)=exp(x^2)$$x$$1+x^2+x^4/2+O(x^5)$

비공식적으로 ... "높은 비선형"은 "맹인도 직선이 아닌 것을 볼 수 있습니다!" ;) 개인적으로 나는 그것을 실제 징후와 함께 사용할 때 어떤 식 으로든 "너의 얼굴에 터질 것"이라는 위험 신호로 생각한다.

하노이 타워는 고도의 비선형의 예라고 할 수 있습니다. 전설은 승려가 64 디스크 스택을 마치면 세상은 끝날 것입니다. 고맙고 지루한 무의미한 여러 세대의 작업을 지원하기 위해 모든 사람이 훈련, 수유, 주택 및 동기 부여에 소비 된 총 시간을 계산하면 인적 시간의 총 비용이 실제로 폭발 할 것으로 예상됩니다!

전문 수학자로서 저는 "매우 비선형"이 수학적으로 정확하게 정의 된 용어가 아님을 확인할 수 있습니다. :)

그리고 내가 생각할 수있는 "높은 것"은 없습니다.

비선형 은 정확하고 선형 과 반대입니다 (분명히).

그러나 선형 은 두 가지 다른 의미로 발생합니다.

• $f(x) = ax+b$
• $f(x) = ax$$b$

$(ax + b)$