지능 제곱 채점 및 승자 결정

Intelligence Squared라는 NPR 팟 캐스트가 있습니다. 각 에피소드는 "제 2 개정안은 더 이상 관련이 없습니다"또는 "대학 캠퍼스에서의 긍정 조치가 좋은 것보다 더 해 롭습니다"와 같은 논쟁적인 진술에 대한 실시간 토론을 방송합니다. 4 명은 토론에 2 명, 반대 2 명에 대해 토론합니다.

어느 쪽이 이길 지 결정하기 위해 토론 전후에 청중이 설문 조사를받습니다. 절대 백분율 측면에서 더 많이 얻은 쪽이 승자로 간주됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

          For    Against  Undecided
 Before   18%      42%       40%
 After    23%      49%       28%

 Winner: Against team -- The motion is rejected.

직관적으로, 나는이 성공 척도가 편향되어 있다고 생각하며, 어떻게 공정한 방식으로 승자를 결정하기 위해 청중을 폴링 할 것인지 궁금합니다.

현재 방법으로 즉시 볼 수있는 세 가지 문제 :

• 극단적으로, 한쪽이 100 % 동의로 시작하면 묶거나 잃을 수 있습니다.

• 결정되지 않은 경우, 초기 계약이 적은 쪽은 채취 할 표본 크기가 더 큰 것으로 볼 수 있습니다.

• 미정의 쪽이 실제로 미정 인 것은 아닙니다. 양측이 똑같이 양극화되어 있다고 가정 할 경우, 결정되지 않은 인구에 대한 우리의 이전의 믿음은 각각 한쪽이 강제로면을 취한다면 여야합니다 .$\text{Beta}(\text{# For}, \text{# Against})$

시청자 설문 조사에 의존해야한다는 점을 감안할 때 누가 이겼는지 판단하는 더 공정한 방법이 있습니까?

당신의 관심사는 잘 확립되어 있습니다. 불행히도이 문제를 해결하기위한 방어적이고 객관적인 방법이 많이 있으며 서로 충돌 할 수 있습니다. 다음과 같은 분석 방법을 결정하기위한 프레임 워크를 제공합니다 당신이 결과와 결론은 당신이 상황의 역학에 대해 가정에 얼마나 의존 쇼를 평가할 수 있습니다.

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우리는 초기 청중을 거의 또는 전혀 통제 할 수 없습니다. 관심이 많은 인구 (예 : 모든 시청자)를 대표하지 않을 수 있습니다. 그러므로 절대적인 의견 수는 거의 관련이 없습니다. 사람들이 마음을 바꿀 수 있는 비율 이 중요합니다 . (이러한 비율을 통해 청취 청중의 의견 비율이 설문 조사를 한 스튜디오 청중과 다른 경우에도, 초기 의견에 대한 정보를 고려하여 청취 모집단이 어떻게 변할 수 있는지 추정 할 수 있습니다.)

따라서 결과는 6 가지 가능한 의견 변경과 6 가지 관련 변경 비율 로 구성됩니다 .

• $1,$$2$$a_{12}$$3$$a_{13}$

• $a_{21}$$a_{23}$

• $a_{31}$$a_{32}.$

$a_{ii}$$i=1,2,3,$$i$

$\mathbb{A}=(a_{ij})$$x=(0.18, 0.42, 0.40)$$y=(0.23, 0.49, 0.28) = \mathbb{A}x$. 이것은 (제한된) 선형 방정식의 결정된 시스템으로, 해를 도출하는 데 큰 유연성을 남깁니다. 세 가지 솔루션을 살펴 보겠습니다.

해결 방법 1 : 최소 변경

$\mathbb{A}$

$$\mathbb{A}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0.125 \\ 0 & 1 & 0.175 \\ 0 & 0 & 0.700 \\ \end{array} \right).$$

$12.5\%$$17.5\%$

이 모델은 초기 진영이 그들의 의견으로 강화되고 그들의 마음을 바꿀 가능성이있는 유일한 사람들이 처음에 미정으로 선언 된 사람들 중에 있다고 믿는 경우에 적합 할 것입니다.

해결 방법 2 : 최소 제곱

$\mathbb{A}$$L^2$$||\mathbb{A}||_2^2 = tr(\mathbb{A}^\prime \mathbb{A})$$a_{ii}$

$$\mathbb{A} = \left( \begin{array}{ccc} 0.28 & 0.22 & 0.22 \\ 0.41 & 0.51 & 0.50 \\ 0.31 & 0.27 & 0.28 \\ \end{array} \right).$$

$22\%$$27\%$$41\%$$31\%$$50\%$ $22\%$

$1/3$

해결 방법 3 : 불이익을받은 최소 제곱

$\mathbb{A}$$\omega_i$$\mathbb{A}$

$$||\mathbb{A}||_2^2 - \omega_1 a_{11} - \omega_2 a_{22} - \omega_3 a_{33}$$

$\omega = (1,1,1/2)$

$$\mathbb{A} = \left( \begin{array}{ccc} 0.91 & 0 & 0.17 \\ 0.03 & 0.93 & 0.23 \\ 0.06 & 0.07 & 0.60 \\ \end{array} \right).$$

$40\%$$17\%$$23\%$

요약

이러한 의견 변화의 전이 모델에서, 대부분의 솔루션 방법은이 특정 예에서 "반대"측에 대한 승리를 나타냅니다. 변화의 역학에 대한 강한 의견이 없다면, "반대"측면에서 승리 한 것입니다.

$(.20,.60,.20)$$(.30,.40,.30)$$20\%$$30\%$$40\%$$30\%$. 그러나 (둥근) 최소 제곱 솔루션은 적어도 토론이 상대방을 약간 선호하는 방법이 있음을 시사합니다! 그것은

$$\mathbb{A} = \left( \begin{array}{ccc} 0.32 & 0.29 & 0.32 \\ 0.36 & 0.42 & 0.36 \\ 0.32 & 0.29 & 0.32 \\ \end{array} \right).$$

$36\%$$29\%$$(36\%)$ $32\%$

추가 댓글

$\mathbb{A}$

$\mathbb{A}$

$$\begin{equation} p(\textrm{for}_\textrm{after},\textrm{against}_{\textrm{after}},\textrm{undecided}_{\textrm{after}} \mid \textrm{for}_\textrm{before},\textrm{against}_{\textrm{before}},\textrm{undecided}_{\textrm{before}}) \end{equation}$$ $0.5$두 팀 모두. 결과 공간이 2 차원이기 때문에 결정 규칙에 대한 여러 선택이 여전히 존재하지만, 예측 모델을 신뢰하는 경우, 이것은 경쟁의 공정성 측면에서 중요하지 않습니다. 예를 들어, 토론 후 For-Against 비율이 예측 중앙값 (사전 설문에 조건부)을 초과하면 팀을 이길 것이라고 결정할 수 있습니다.

예측 모델 구축을위한 아이디어

$$\begin{align} (P(\textrm{for} \mid \textrm{for before}),P(\textrm{ud} \mid \textrm{for before}),P(\textrm{ag} \mid \textrm{for before})) & \sim Dir(a_{ff},a_{uf},a_{af}) \\ (P(\textrm{for} \mid \textrm{ud before}),P(\textrm{ud} \mid \textrm{ud before}),P(\textrm{ag} \mid \textrm{ud before})) & \sim Dir(a_{fu},a_{uu},a_{au}) \\ (P(\textrm{for} \mid \textrm{ag before}),P(\textrm{ud} \mid \textrm{ag before}),P(\textrm{ag} \mid \textrm{ag before})) & \sim Dir(a_{fa},a_{ua},a_{aa}), \end{align}$$ $P$$a$$a$$a$$a_{ff}=a_{aa}$$a_{fu}=a_{au}$

$a$