독립적 인 랜덤 변수의 함수

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독립적 인 랜덤 변수의 기능 자체가 독립적이라는 주장이 사실입니까?

예를 들어 표본 분포와 정규 분포의 표본 분산 사이의 독립성 증거와 같이 일부 증거에서 종종 결과가 암시 적으로 사용되는 것을 보았지만 그에 대한 정당성을 찾을 수 없었습니다. 일부 저자는 주어진대로 가져 오는 것처럼 보이지만 이것이 항상 그런 것인지는 확실하지 않습니다.

— 존
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독립에 대한 가장 일반적이고 추상적 인 정의 는 중요한 조건을 제공하면서이 주장을 사소하게 만듭니다. 두 개의 임의 변수가 독립적이라는 것은 그들이 생성하는 시그마 대수를 의미합니다. a로 생성 시그마 대수 때문에 측정 시그마 - 대수 함수는 서브 대수이다 한층 유력한 이유로 이러한 확률 변수의 임의의 측정 기능을 독립적 대수가 이러한 기능을 독립적 어디서.

(함수를 측정 할 수없는 경우, 일반적으로 새로운 랜덤 변수를 생성하지 않으므로 독립 개념은 적용되지 않습니다.)

이것이 얼마나 간단한 지 정의를 풀자. 랜덤 변수 는 "샘플 공간" (확률을 통해 연구되는 결과 집합)에 정의 된 실제 값 함수 라는 것을 상기하십시오. $X$ $\Omega$

확률 변수 (이러한 실수의 보렐 측정 세트가 더 일반적이나, 구간 중 간단한 방법으로 구성된 세트) 실수의 다양한 간격 내의 값 거짓말 그 확률을 이용하여 연구된다. $X$
모든 Borel 측정 가능 세트 에 해당하는 이벤트 는 가 에있는 모든 결과 로 구성 됩니다. $I$ $X^{*}(I)$ $\omega$ $X(\omega)$ $I$
에 의해 생성 된 시그마 대수는 이러한 모든 이벤트의 수집에 의해 결정됩니다. $X$
순진한 정의에 따르면 두 확률 변수 와 는 "확률이 곱할 때" 독립적 입니다. 즉, 하나의 Borel 측정 가능 세트이고 가 다른 세트 인 경우 $X$ $Y$ $I$ $J$

$\Pr(X(\omega)\in I\text{ and }Y(\omega)\in J) = \Pr(X(\omega)\in I)\Pr(Y(\omega)\in J).$
그러나 사건의 언어 (및 시그마 대수학)와 동일합니다.

$\Pr(\omega \in X^{*}(I)\text{ and }\omega \in Y^{*}(J)) = \Pr(\omega\in X^{*}(I))\Pr(\omega\in Y^{*}(J)).$

이제 두 함수 고려 하고 와 는 임의의 변수 라고 가정 합니다. (원은 기능 구성입니다 : . 이것은 가 "임의 변수의 함수"가 된다는 것을 의미합니다 . 초등 집합 이론 일뿐입니다. $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $f \circ X$ $g\circ Y$ $(f\circ X)(\omega) = f(X(\omega))$ $f$

(f \circ X)^{*} (I) = X^{*} (f^{*} (I)) .

$(f\circ X)^{*}(I) = X^{*}(f^{*}(I)).$

즉, 왼쪽에있는 의해 생성 된 모든 이벤트 는 자동으로 의해 생성 된 이벤트입니다 $f\circ X$ $X$ (오른쪽 형식으로 표시됨). 따라서 (5) 는 와 자동으로 유지 합니다. 확인할 것이 없습니다! $f\circ X$ $g\circ Y$

NB 중요한 방법으로 다른 것을 변경할 필요없이 어디에서나 "실제"를 " 값으로"대체 할 수 있습니다 . 여기에는 벡터 값 랜덤 변수의 경우가 포함됩니다. $\mathbb{R}^d$

— 우버
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1

시그마 대수학은 고급 (대학 수준)입니다.

— Aksakal

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@ Aksakal 그것은 당신이 어느 학교에 가거나 어떤 책을 읽느냐에 달려 있습니다. (저는 2 학년 학부에서이 자료를 성공적으로 가르쳤습니다. 스티븐 슈 리브 (Steven Shreve)의 확률 적 미적분학에 관한 텍스트와 같이 학계 수준에서도이 이론에 대한 접근하기 쉬운 기록이 있습니다. 그러나 그것은 어떻게 관련이 있습니까? 정당화되지 않은 주장보다 모든 정당화, 심지어 정교한 것이 정당화되어야한다.

— whuber

1

당신은 질문을 한 사람을 돕기 위해 그 모든 문제를 해결하기 위해 매우 친절합니다. 다시 감사합니다. 그리고 당신은 옳습니다. 정의는 결국 너무 어려워하지 않습니다.

— JohnK

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이 "고급"증거를 고려하십시오.

하자 . 여기서 는 독립적 인 랜덤 변수이고 는 측정 가능한 함수입니다. 그런 다음 독립하여 및 , $X:\Omega_X\to\mathbb{R}^n,Y:\Omega_Y\to\mathbb{R}^m,f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k,g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p$ $X,Y$ $f,g$

P {f (X) \leq x and g (Y) \leq y} = P ({f (X) \leq x} \cap {g (Y) \leq y}) = P ({X \in {w \in R^{n} : f (w) \leq x}} \cap {Y \in {w \in R^{m} : g (w) \leq y}}) .

$P\{f(X)\leq x \text{ and } g(Y)\leq y\}\\=P(\{f(X)\leq x\}\cap\{g(Y)\leq y\})\\=P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\}).$

X

$X$

Y

$Y$

P ({X \in {w \in R^{n} : f (w) \leq x}} \cap {Y \in {w \in R^{m} : g (w) \leq y}}) = = P {X \in {w \in R^{n} : f (w) \leq x} \cdot P {Y \in {w \in R^{m} : g (w) \leq y}} = P {f (X) \leq x} \cdot P {g (Y) \leq y} .

$P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\})=\\=P\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\cdot P\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\} \\=P\{f(X)\leq x\}\cdot P\{g(Y)\leq y\}.$

아이디어는 세트 이므로 유효한 속성은 로 확장되며 대해서도 마찬가지 입니다.

{f (X) \leq x} \equiv {w \in Ω_{X} : f (X (w)) \leq x} = {X \in {w \in R^{n} : f (w) \leq x}},

$\{f(X)\leq x\}\equiv\{w\in\Omega_X:f(X(w))\leq x\}=\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\},$

X

$X$

f (X)

$f(X)$

Y

$Y$

— 길 레르 메 살로메
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2

+1. 이 아이디어에 감사드립니다.이 아이디어는 필수 아이디어에 분명하게 초점을 맞 춥니 다. 우리 사이트에 오신 것을 환영합니다!

— whuber

7

예, 및 임의의 함수에 대한 독립적 및 너무 오래 같이 및 독립적이다. 확률 이론 과정에서 연구되는 매우 잘 알려진 결과입니다. Billingsley와 같은 표준 텍스트에서 찾을 수 있다고 확신합니다. $g(X)$ $h(Y)$ $g$ $h$ $X$ $Y$

— 악사 칼
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감사합니다. 현재 Hogg & Craig와 MGB를 공부하고 있습니다. Billingsley는 다음 논리적 단계입니다.

— JohnK

3

Billinglsey는 수학자가 아니고 이미 조치를 연구하지 않는 한 고문입니다. Partarathy의 소개 는 2-in-1 서적보다 훨씬 쉬우 며 Alan Karr의 Probability 텍스트도 읽기 쉽습니다.

— Aksakal

Billingsley 's보다 쉬운 다른 텍스트 : chance.ca/jeff/grprobbook.html

— Adrian

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대안이 아니라 이전의 훌륭한 답변에 대한 추가로이 결과는 실제로 매우 직관적이라는 점에 유의하십시오.

일반적으로 우리는 와 가 독립적이라는 것은 의 가치를 아는 것이 의 가치에 대한 정보를 제공하지 않는다는 것을 의미 한다고 생각합니다 . 이 해석은 함수를 적용하여 (또는 실제로 다른 방법으로는) 정보를 "누설"할 수 없음을 분명히 나타냅니다. $X$ $Y$ $X$ $Y$

— 알렉시스
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