에 로그 정규 확률 밀도 함수를 곱한 값 을 분석적으로 통합 할 수 있습니까?

먼저, 분석적으로 통합함으로써 수치 해석 (사다리꼴, 가우스-레전드 르 또는 심슨의 규칙)과는 반대로이를 해결하기위한 통합 규칙이 있습니까?

I 함수가 는 다음과 같이 로그 정규 분포의 확률 밀도 함수입니다. 파라미터 와 . 아래에서는 표기법을 로 축약 하고 누적 분포 함수에 를 사용 합니다. $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}f(x) = x g(x; \mu, \sigma)$

g (x; μ, σ) = \frac{1}{σ x \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}}

$g(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma x \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2}$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

g (x)

$g(x)$

G (x)

$G(x)$

적분 를 계산해야합니다

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_{a}^{b} f(x) \,\rd x \>.$

현재 Gauss-Legendre 방법을 사용하여 수치 적분 으로이 작업을 수행하고 있습니다. 이 작업을 여러 번 실행해야하므로 성능이 중요합니다. 수치 분석 / 기타 부분을 최적화하기 전에이를 해결하기위한 통합 규칙이 있는지 알고 싶습니다.

부품 별 통합 규칙을 적용하려고했는데 다시 연결되는 위치에 도달했습니다.

$\int u \,\mathrm{d}v = u v - \int v \mathrm{d}u$ .
$u=x \implies \rd u = \rd x$
$\rd v = g(x) \rd x \implies v = G(x)$
$u v - \int v \rd x = x G(x) - \int G(x) \rd x$

평가할 수 없으므로 붙어 있습니다 $\int G(x) \rd x$ .

이것은 내가 만들고있는 소프트웨어 패키지를위한 것입니다.

distributions lognormal

— 로시
소스

@Rosh, 이란 로그 정규 분포의 확률 밀도를 의미합니까?

l o g n o r m a l

$lognormal$

— mpiktas

이것은 두 개의 일반 cdfs의 차이와 상수의 차이로 표현할 수 있습니다. 정상적인 cdfs는 W. Cody의 합리적인 Chebyshev 근사법을 사용하여 효율적으로 계산됩니다. 당신은 이것에 대한 수치 적분 대안을 필요로하지 않으며, 거의 의심하지 않아야 합니다 . 자세한 내용이 필요하면 게시 할 수 있습니다.

— 추기경

@mpiktas, 예, lognormal은 확률 밀도 함수이고 lognormalCDF는 누적 밀도 함수입니다.

— Rosh

@Rosh 는 로그 정규 분포를 가지며 는 정규 분포를 의미합니다 . 따라서 원래 적분 에서 로 대체 하십시오 . 정수는 인수가 의 2 차 함수 인 지수입니다 . 정사각형을 완성하면 일반 PDF의 배수로 변환되므로 답은 일반 CDF와 원래 끝점의 지수로 작성됩니다. 일반 CDF (복수 함수의 배수)에 대한 근사값이 많이 있습니다.

x

$x$

\log (x)

$\log(x)$

x = \exp (y)

$x = \exp(y)$

y

$y$

— whuber

예, @ whuber와 나는 같은 것을 설명하고있었습니다. 사용자는 같은 가야 여기서 및 및 는 일반 cdf를 나타냅니다. , , 및 의 값에 숫자를보다 안정적으로 다시 작성하는 방법이 있습니다.

e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α))

$e^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2} (\Phi(\beta) - \Phi(\alpha))$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu+\sigma^2))/\sigma$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

a

$a$

b

$b$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— 추기경

짧은 대답 : 아니요, 적어도 기본 기능 측면에서는 불가능합니다. 그러나, 그러한 수량을 계산하기 위해 매우 좋은 (그리고 합리적으로 빠른) 수치 알고리즘이 존재하며,이 경우 임의의 수치 적분 기술보다 선호되어야합니다.

정상 cdf에 대한 관심 수량

관심있는 양은 실제로 로그 정규 확률 변수의 조건 평균과 밀접한 관련이 있습니다. 즉, 가 및 매개 변수를 사용하여 로그 정규 분포로 분배되는 경우 표기법을 사용하여 $X$ $\mu$ $\sigma$

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}} d x = P (a \leq X \leq b) E (X ∣ a \leq X \leq b) .

$\newcommand{\e}{\mathbb{E}}\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \int_a^b f(x) \rd x = \int_a^b \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2} \rd x = \Pr(a \leq X \leq b) \e(X \mid a \leq X \leq b) \>.$

이 적분에 대한 표현식을 얻으려면 대체하십시오 . 처음에는 약간 동기 부여가 나타날 수 있습니다. 그러나 를 사용하면 변수를 간단히 변경하면 여기서 및 . $z = (\log(x) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$ $x = e^{\mu + \sigma^2} e^{\sigma z}$

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} \int_{α}^{β} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} z^{2}} d z,

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} z^2} \rd z \> ,$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

따라서 여기서 는 표준입니다 정규 누적 분포 함수.

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α)),

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \big( \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) \big) \>,$

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- z^{2} / 2} d z

$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \rd z$

수치 근사

대한 알려진 닫힌 형식식이 존재 하지 않는 경우가 종종 있습니다. 그러나 1800 년대 초 Liouville 의 정리는 더 강력한 것을 주장 합니다 . 이 함수에는 닫힌 형태 표현이 없습니다 . (이 특별한 경우에 대한 증거는 Brian Conrad의 글을 참조하십시오 .) $\Phi(x)$

따라서 원하는 수량을 근사화하기 위해 수치 알고리즘을 사용해야합니다. 이것은 WJ Cody 알고리즘을 통해 IEEE 배정 밀도 부동 소수점 내에서 수행 할 수 있습니다. 그것은이다 이 문제에 대한 표준 알고리즘과 상당히 낮은 순서의 합리적인 표현을 사용, 너무, 매우 효율적입니다.

다음은 근사값을 설명하는 참조입니다.

WJ Cody, 오류 함수에 대한 Rational Chebyshev 근사치 , 수학. Comp. 1969, 631--637 쪽.

또한 예제 코드를보다 쉽게 얻을 수있는 경우를 위해 MATLAB과 모두에서 사용되는 구현 입니다. $R$

여기에 당신이 관심이 경우 관련 질문입니다.

— 추기경
소스