만약

9

다음 설정 가정
하자 $Z_i = \min\{k_i, X_i\}, i=1,...,n$ . 또한 $X_i \sim U[a_i, b_i], \; a_i, b_i >0$ 입니다. 또한 $k_i = ca_i + (1-c)b_i,\;\; 0<c<1$ 즉 $k_i$ 는 각각의 지지체의 경계의 볼록한 조합이다. $c$ 는 모든 공통입니다 $i$ .

나는 생각 나는의 분포가 권리 : 그것은이다 혼합 분배 . 연속 부분, 와 불연속성 및 불연속 부분이 있습니다. 확률 질량 집중 : $Z_i$

X_{i} \in [a_{i}, k_{i}), Z_{i} = X_{i} \Rightarrow Pr (Z_{i} \leq z_{i}) = \frac{z_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}

$X_i \in [a_i, k_i), Z_i=X_i \Rightarrow \Pr(Z_i \le z_i) = \frac {z_i-a_i}{b_i-a_i}$

Pr (Z_{i} = k_{i}) = Pr (X_{i} > k_{i}) = 1 - Pr (X_{i} \leq k_{i})

$\Pr(Z_i=k_i) = \Pr(X_i > k_i) = 1- \Pr(X_i \le k_i)$

= 1 - \frac{k_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}} = 1 - \frac{(1 - c) (b_{i} - a_{i})}{b_{i} - a_{i}} = c

$= 1- \frac {k_i - a_i}{b_i-a_i} = 1-\frac {(1-c)(b_i-a_i)}{b_i-a_i} =c$

따라서 모든

F_{Z_{i}} (z_{i}) = {\begin{cases} 0 z_{i} < a_{i} \\ \frac{z_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}} a_{i} \leq z_{i} < k_{i} \\ 1 k_{i} \leq z_{i} \end{cases}

$F_{Z_i}(z_i) = \begin{cases} 0\qquad z_i<a_i\\ \\ \frac {z_i-a_i}{b_i-a_i}\qquad a_i\le z_i<k_i \\ \\1\qquad k_i\le z_i\end{cases}$

혼합 된 "이산 / 연속"질량 / 밀도 함수의 경우 간격 외부에서 이지만 균일 한 , 의 밀도 인 연속 부분이 있습니다. 이지만 에서 양의 확률 질량 을 . $0$ $[a_i, k_i]$ $U(a_i, b_i)$ $\frac {1}{b_i-a_i}$ $a_i\le z_i<k_i$ $c >0$ $z_i = k_i$

결국, 그것은 현실에 대한 통일로 요약됩니다.

임의 변수 의 분포 및 / 또는 모멘트 $S_n \equiv \sum_{i=1}^n Z_i$ 를 로 유도하거나 무언가에 대해 말하고 $n\rightarrow \infty$ .

경우 생성 말은 의 독립적이며, 이는 보이는 로서 . 근사치로도 해당 부분을 "무시"할 수 있습니까? 그런 다음 간격"검열되지 않은"상태가되기 위해 검열 된 제복의 합처럼 보이는 . 따라서 일부 중앙 제한 정리가있을 수 있습니다. 그래서 어떤 제안? $X_i$ $\Pr(S_n = \sum_i^nk_i) = c^n \rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $[\sum_{i=1}^na_i,\; \sum_{i=1}^nk_i)$

추신 : 이 질문은 관련이 있습니다 . 검열 된 변수의 합의 분포를 유도 하지만 @Glen_b의 대답은 내가 필요하지 않습니다-근사를 사용 하더라도이 일을 분석적으로 수행해야합니다. 이것은 연구이므로 숙제처럼 취급하십시오-일반적인 제안이나 문헌에 대한 언급은 충분합니다.

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

필요한 경우 의 분포 를 로 적절한 여기서 는 Borel 세트입니다.

Z_{i}

$Z_i$

μ_{Z_{i}} (B) = P (Z_{i} \in B) = \int_{B} g (t) d t + c I_{B} (k_{i})

$\mu_{Z_i}(B)=P(Z_i\in B)=\int_B g(t)\,dt +c\,I_B(k_i)$

g

$g$

B

$B$

— Zen

@ 젠 나는 이미 배포가 불 연속적이라는 질문에 썼다. 또한 의 RHS는 이 가 의 밀도를 나타내지 만 의 확률을 나타내며 나는 콤팩트 표기법을 선호합니다.

f

$f$

f

$f$

[a_{i}, k_{i})

$[a_i,k_i)$

k_{i}

$k_i$

— Alecos Papadopoulos

내가 아는 한, 사용한이 표기법 은 pdf였으며 pmf는 존재하지 않습니다. 우리는 혼합 분포를 정확하게 설명하기위한 적절한 수학적 언어를 가지고 있습니다. 나는 당신이 당신의 연구를 출판 할 때이 표기법이 받아 들여질 지 의심 스럽다. 물론 제 의견입니다. 항상 원하는대로해야합니다.

f

$f$

— Zen

@Zen Publishing은 먼 길을 가고 있습니다. 실제로 리뷰어는 확립되지 않은 표기법을 볼 때 눈살을 찌푸립니다. 이것은 여러 줄로 단계적 분포를 설명하고자 할 때 간단히 표현한 것입니다. 예를 들어 이전 의견에서 사용한 것과 같이 기존의 표기법과 반대되는 표기법에 대한 "인수 주장"은 없습니다.

— Alecos Papadopoulos

5

Henry의 팁을 따르고 Lyapunov를 확인하십시오 . 와 올바르게 작동 하는 한 분포가 혼합되어 있다는 사실은 문제가되지 않습니다 . 각 에 대해 , , 특정 경우의 시뮬레이션은 정규성이 정상임을 나타냅니다. $\delta=1$ $a_i$ $b_i$ $a_i=0$ $b_i=1$ $k_i=2/3$ $i\geq 1$

xbar <- replicate(10^4, mean(pmin(runif(10^4), 2/3)))
hist((xbar - mean(xbar)) / sd(xbar), breaks = "FD", freq = FALSE)
curve(dnorm, col = "blue", lwd = 2, add = TRUE)

CLT

— 선
소스

실제로 꽤 정상입니다. 알아 둘만 한. CLT의 일반적인 조건은 여기서 결코 문제가되지 않았습니다. 제 질문은 점근 적 결과를 왜곡하고 수정 된 CLT가 필요한 다른 미묘한 문제가 있는지 여부였습니다. 시뮬레이션에 따르면 더 많은 변수가 합에 들어감에 따라 불연속 불연속성이 실제로 무시할 수있는 것으로 나타났습니다.

— Alecos Papadopoulos

구체적이지 않지만 문제가 없습니다. 인덱스 와 무관하게 유한 한 숫자로 생각하십시오 . 그것들은 성장함에 따라 증가하거나 감소 할 수 있으며 (특정 규칙 없음), 그들 중 어느 것도 다른 것보다 불균형 적으로 크지 않습니다 ... 그럼에도 불구하고 "비교할 수있는"실체의 크기 차이를 나타냅니다. Lindeberg의 상태는 가장 확실합니다

i

$i$

i

$i$

— Alecos Papadopoulos

좋은. 다음 단계로 행운을 빕니다. 흥미로운 문제인 것 같습니다.

— Zen

3

힌트 :

가 고정되어 있고 가 독립적 이라고 가정하면 각 의 평균 및 분산 를 . 예를 들어 당신은 알고 . $c$ $X_i$ $\mu_i$ $\sigma_i^2$ $Z_i$ $\mu_i=E[ Z_i] = c\frac{a_i+k_i}{2} + (1-c)k_i$ $k_i = ca_i + (1-c)b_i$

그런 다음 및 가 너무 빨리 커지지 않으면 Lyapunov 또는 Lindeberg 조건 을 사용하여 라는 결론과 함께 중앙 제한 정리를 적용 할 수 있습니다 는 표준 정규 분포로 수렴하거나 손으로 흔드는 의미로 는 대략적으로 평균 및 분산 . $a_i$ $b_i$ $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\sum_1^n \sigma_i^2}}\left(\sum_1^n Z_i - \sum_1^n \mu_i\right)$ $\sum_1^n Z_i$ $\sum_1^n \mu_i$ $\sum_1^n \sigma_i^2$

— 헨리
소스

감사. 와 아무런 문제가 없으며 , 인덱스와 함께 성장하지 않고 변동합니다. 그래서 당신은 본질적으로 CLT가 혼합 분포의 랜덤 변수를 포함 할 수 있다고 말하고 있습니까?

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

— Alecos Papadopoulos

예를 들어, 및 가 고정 된 경우 유한 분산을 갖는 독립적으로 동일하게 분포 된 랜덤 변수를 가지므로 중심 한계 정리가 적용됩니다. 이것이 혼합 분포인지 여부는이 결과에 영향을 미치지 않습니다. 내가 말하고있는 것은 평균과 분산이 합리적으로 유지된다면 랜덤 변수가 독립적이지만 동일하게 분포되지 않은 경우로 이것을 확장 할 수 있다는 것입니다.

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

— Henry

2

이 질문에 대한 나의 주된 걱정은 내가 조사하고있는 경우에 "평소대로"CLT를 적용 할 수 있는지에 대한 것이었다. 사용자 @Henry는 사용자가 @Zen이 시뮬레이션을 통해 그것을 보여줄 수 있다고 주장했다. 따라서 격려하여 이제 분석적으로 증명하겠습니다.

먼저해야 할 것은 혼합 분포를 갖는이 변수에 "일반적인"모멘트 생성 기능이 있는지 확인하는 것입니다. 나타내고 예상 값 , 표준 편차와의 중심 및 스케일링 된 버전 의해 . 변화 -의 가변 식을 적용하면, 우리는 연속 부분 인 것을 발견 의 모멘트 생성 함수 는 $\mu_i$ $Z_i$ $\sigma_i$ $Z_i$ $\tilde Z_i = \frac {Z_i-\mu_i}{\sigma_i}$

f_{\tilde{Z}} ({\tilde{z}}_{i}) = σ_{i} f_{Z} (z_{i}) = \frac{σ_{i}}{b_{i} - a_{i}}

$f_{\tilde Z}(\tilde z_i) = \sigma_if_Z(z_i) = \frac {\sigma_i}{b_i-a_i}$

{\tilde{Z}}_{i}

$\tilde Z_i$

{\tilde{M}}_{i} (t) = E (e^{{\tilde{z}}_{i} t}) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{{\tilde{z}}_{i} t} d F_{\tilde{Z}} ({\tilde{z}}_{i}) = \int_{{\tilde{a}}_{i}}^{{\tilde{k}}_{i}} \frac{σ_{i} e^{{\tilde{z}}_{i} t}}{b_{i} - a_{i}} d z_{i} + c e^{{\tilde{k}}_{i} t}

$\tilde M_i(t) = E(e^{\tilde z_it}) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{\tilde z_it}dF_{\tilde Z}(\tilde z_i) = \int_{\tilde a_i}^{\tilde k_i}\frac{\sigma_ie^{\tilde z_it}}{b_i-a_i}dz_i + ce^{\tilde k_it}$

\Rightarrow {\tilde{M}}_{i} (t) = \frac{σ_{i}}{b_{i} - a_{i}} \frac{e^{{\tilde{k}}_{i} t} - e^{{\tilde{a}}_{i} t}}{t} + c e^{{\tilde{k}}_{i} t}

$\Rightarrow \tilde M_i(t)=\frac {\sigma_i}{b_i-a_i}\frac{e^{\tilde k_it}-e^{\tilde a_it}}{t} +ce^{\tilde k_it}$ 함께

{\tilde{k}}_{i} = \frac{k_{i} - μ_{i}}{σ_{i}}, {\tilde{a}}_{i} = \frac{a_{i} - μ_{i}}{σ_{i}}

$\tilde k_i = \frac {k_i-\mu_i}{\sigma_i},\;\; \tilde a_i = \frac {a_i-\mu_i}{\sigma_i}$

소수를 사용하여 도함수를 나타내면 모멘트 생성 함수를 올바르게 지정한 경우 이후 중심 및 스케일링 된 랜덤 변수입니다. 그리고 실제로 미분을 계산하고 L' Hopital 's rule을 여러 번 적용하여 (제로의 MGF 값이 한계를 통해 계산되어야하므로) 대수 조작을 수행하여 처음 두 개의 동등성을 확인했습니다. 세 번째 평등은 너무 성가신 것으로 판명되었지만 나는 그것이 가지고 있다고 믿습니다.

{\tilde{M}}_{i} (0) = 1, {\tilde{M}}_{i}^{'} (0) = E (\tilde{Z}) = 0 \Rightarrow {\tilde{M}}_{i}^{″} (0) = E ({\tilde{Z}}_{i}^{2}) = Var ({\tilde{Z}}_{i}) = 1

$\tilde M_i(0) = 1, \;\; \tilde M_i'(0) = E(\tilde Z) = 0 \Rightarrow \tilde M_i''(0) = E(\tilde Z_i^2) = \operatorname {Var}(\tilde Z_i)=1$

그래서 우리는 적절한 MGF를 가지고 있습니다. 2 차 테일러 확장을 0으로하면

\tilde{M} (t) = \tilde{M} (0) + {\tilde{M}}^{'} (0) t + \frac{1}{2} {\tilde{M}}^{″} (0) t^{2} + o (t^{2})

$\tilde M(t) = \tilde M(0) + \tilde M'(0)t +\frac 12\tilde M''(0)t^2 + o(t^2)$

\Rightarrow \tilde{M} (t) = 1 + \frac{1}{2} t^{2} + o (t^{2})

$\Rightarrow \tilde M(t) = 1 + \frac 12t^2+ o(t^2)$

이것은 특성 함수가 (여기서 는 허수를 나타냄) . $i$

\tilde{ϕ} (t) = 1 + \frac{1}{2} (i t)^{2} + o (t^{2}) = 1 - \frac{1}{2} t^{2} + o (t^{2})

$\tilde \phi(t) = 1 + \frac 12 (it)^2 + o(t^2)= 1 - \frac 12 t^2 + o(t^2)$

특성 함수 의 특성에 따라 의 특성 함수 는 다음과 같습니다. $\tilde Z/\sqrt n$

{\tilde{ϕ}}_{\tilde{Z} / \sqrt{n}} (t) = {\tilde{ϕ}}_{\tilde{Z}} (t / \sqrt{n}) = 1 - \frac{t^{2}}{2 n} + o (t^{2} / n)

$\tilde \phi_{\tilde Z/\sqrt n}(t)=\tilde \phi_{\tilde Z}(t/\sqrt n) = 1 - \frac {t^2}{2n} + o(t^2/n)$

독립적 인 랜덤 변수가 있기 때문에 의 특성 함수 는 다음과 같습니다. $\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i$

{\tilde{ϕ}}_{\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i}^{n} {\tilde{Z}}_{i}} (t) = \prod_{i = 1}^{n} {\tilde{ϕ}}_{\tilde{Z}} (t / \sqrt{n}) = \prod_{i = 1}^{n} (1 - \frac{t^{2}}{2 n} + o (t^{2} / n))

$\tilde \phi_{\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i}(t)= \prod_{i=1}^n\tilde \phi_{\tilde Z}(t/\sqrt n)=\prod_{i=1}^n\left(1 - \frac {t^2}{2n} + o(t^2/n)\right)$

그때

lim_{n \to \infty} {\tilde{ϕ}}_{\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i}^{n} {\tilde{Z}}_{i}} (t) = lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{t^{2}}{2 n})}^{n} = e^{- t^{2} / 2}

$\lim_{n\rightarrow \infty}\tilde \phi_{\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i}(t) = \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1 - \frac {t^2}{2n}\right)^n = e^{-t^2/2}$

숫자 가 어떻게 표현 되는지에 $e$ 의해 . 그것은 그래서 마지막 항은 표준 정규 분포의 특성 기능입니다 발생,에 의해 레비의 연속성 정리 , 우리는이

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i}^{n} {\tilde{Z}}_{i} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i \xrightarrow{d} N(0,1)$

이것이 CLT입니다. 변수가 중심 및 스케일 버전 을 고려하고 MGF / CHF의 2 차 테일러 확장을 고려 하면 변수가 동일하게 분포되지 않고 "사라진다" 는 사실에 유의하십시오 . 동일하고 모든 차이점은 무조건 사라지는 나머지 용어로 압축됩니다. $Z$

우리가 평균 행동을 고려할 때 모든 개별 요소 에서 개별 수준의 특유의 행동이 사라진다는 사실은 혼합 분포를 갖는 무작위 변수와 같은 불쾌한 생물을 사용하여 매우 잘 드러나 있다고 생각합니다.

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

정말 멋지다, Alecos. 내 생각은 그 주장이 와 의 보다 구체적인 조건에 의존해야한다는 것이다 . 예를 들어 이면 증거가 빨리 깨 집니까? (응용 프로그램에서 이것이 발생하지 않는다는 것을 알고 있습니다.) 어떻게 생각하십니까?

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

(b_{i} - a_{i}) ↓ 0

$(b_i-a_i)\downarrow 0$

— Zen

@Zen 독립적이지만 동일하게 분포되지 않은 RV의 차이에 관한 문제는 매우 미묘한 것으로 아직 명확하게 이해하지 못한다고 생각합니다. 알려진 Lyapunov 또는 Lindeberg 조건은 CLT가 보유 하기 에 충분 합니다. 이러한 조건이 충족되지 않더라도 CLT가 유지되는 경우가 있습니다. 따라서 우리가 분산을 묶지 않으면 단일 답변이 없으며 문제는 완전히 사례에 따라 달라집니다. Billingsley의 책조차도 그 문제에 대해 명확하지 않습니다. 문제는 나머지가 어떻게 보일지, 우리가 그것에 대해 말할 수있는 것입니다.

— Alecos Papadopoulos