이 무한대로 갈 때 가 정규 분포로 수렴 한다는 이론이 있습니까?

하자 정의 평균, 함께 임의 분배 및 표준 편차 . 중심 한계 정리에 따르면 는 표준 정규 분포로 수렴합니다. 를 표본 표준 편차 대체 하면 가 t- 분포로 수렴 한다는 이론이 있습니까? 큰 부터 $X$ $\mu$ $\sigma$

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$

σ

$\sigma$

S

$S$

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{S}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$

n

$n$ t- 분포가 정규에 접근하면, 정리가 존재하는 경우, 한계가 표준 정규 분포라고 명시 할 수 있습니다. 따라서 t- 분포는 그다지 유용하지 않은 것처럼 보입니다. 즉, 가 대략 정규일 때만 유용합니다 . 이 경우입니까?

X

$X$

가능하다면 가 로 대체 될 때이 CLT의 증거를 포함하는 참조를 표시 하시겠습니까? 이러한 참조는 바람직하게 측정 이론 개념을 사용할 수있다. 그러나이 시점에서 나에게 큰 일이 될 것입니다. $\sigma$ $S$

— Esp Flo
소스

Slutsky 정리를 적용한 경우, 버전을 수렴형 정리 (converging together conemma) 라고도하며 , 한계가 표준 정규임을 나타냅니다.

— 추기경

@cardinal의 주석을 자세히 설명하려면 임의의 분포 와 유한 모멘트 (평균 및 표준 편차 가있는 랜덤 변수 에서 크기 의 iid 샘플을 고려하십시오 . 랜덤 변수 정의 $n$ $X$ $\mu$ $\sigma$

Z_{n} = \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - μ)

$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$ 기본 중심 한계 정리에 따르면

Z_{n} \to_{d} Z \sim N (0, σ^{2})

$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$

이제 임의 변수 고려하십시오. 여기서 은 의 표본 표준 편차입니다 . $Y_n = \frac 1{S_n}$ $S_n$ $X$

표본은 iid이므로 표본 모멘트는 일관되게 모집단 모멘트를 추정합니다. 그래서

Y_{n} \to_{p} \frac{1}{σ}

$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$

@cardinal : Slutsky의 정리 (또는 lemma)를 입력하십시오. 무엇보다도 여기서 는 상수입니다. . 이것은 우리의 경우입니다

{Z_{n} \to_{d} Z, Y_{n} \to_{p} c} \Rightarrow Z_{n} Y_{n} \to_{d} c Z

$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$

c

$c$

Z_{n} Y_{n} = \sqrt{n} \frac{\bar{X_{n}} - μ}{S_{n}} \to_{d} \frac{1}{σ} Z \sim N (0, 1)

$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$

스튜던트 분포의 유용성에 관해서는 통계 테스트와 관련된 "전통적인 용도"에서 표본 크기가 실제로 작을 때 (그리고 우리는 여전히 그러한 경우에 직면 할 때) 여전히 필수적이라고 언급합니다. 특히 재무 계량 경제학의 맥락에서 (조건부) 이분산성을 가진 모델 자동 회귀 시리즈에 광범위하게 적용되었습니다.

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

+1, 이론적 질문에 대한 답변이 실제로 유용성과 관련이있을 때 항상 반가워

— Andy

@ 앤디 동의합니다. 이상적입니다.

— Alecos Papadopoulos