블로우 업 대수 기하학에서 강력한 도구입니다. 그것은 나머지 구조를 보존하면서 대수 세트 에서 특이점 을 제거 할 수 있습니다 .

걱정하지 않는 것에 익숙하지 않으면 실제 계산을 이해하기 어렵지 않습니다 (아래 참조).

다음에서 우리는 포인트 의 폭파를 고려하고 있습니다.$(0,0)$2D에서 대수 곡선의 2D의 대수 곡선은 두 변수에서 다항식의 영점에 의해 주어진다 (예 :$p(x,y) = x^2 + y^2 - 1$ 단위 원 또는 $p(x,y) = y-x^2$포물선을 위해). 그 곡선 의 폭발$(0,0)$)는 두 개의 다항식으로 제공됩니다. $r,s$아래에 정의 된대로. 양자 모두$r$ 과 $s$ 설명하다 $p$ (가능한) 특이점으로 $(0,0)$ 제거되었습니다.

도전

다항식이 주어지면 $p$, 찾기 $r$ 과 $s$ 아래에 정의 된대로.

정의

우선 내가 여기서 말하는 모든 것은 단순화되었으며 실제 정의와 완전히 일치하지는 않습니다.

다항식이 주어짐 $p$ 두 변수로 $x,y$파열은 두 다항식 주어진다$r,s$ 다시 두 변수에 각각.

얻기 위해 $r$ 우리는 먼저 정의 $R(x,v) := p(x,vx)$. 그때$R(x,v)$ 아마 배수 $x$즉 $R(x,v) = x^n \cdot r(x,v)$ 일부 $n$ 어디 $x$ 나누지 않는다 $r(x,v)$. 그때$r(x,v)$ 기본적으로 분할 후 남은 것입니다.

다른 다항식은 정확히 동일하게 정의되지만 변수를 전환합니다 : 첫 번째 쓰기 $S(u,y) := p(uy,y)$. 그때$s$ 다음과 같이 정의됩니다 $S(u,y) = y^m \cdot s(u,y)$ 일부 $m$ 어디 $y$ 나누지 않는다 $s(u,y)$.

명확하게하기 위해 다음을 고려하십시오.

예

제로 로커스에 의해 주어진 곡선을 고려하십시오 $p(x,y) = y^2 - (1+x) x^2$. (에 특이점이 있습니다.$(0,0)$이 시점에서 잘 정의 된 탄젠트가 없기 때문입니다. )

그런 다음 우리는 발견

$$R(x,v) = p(x,vx) = v^2x^2-(1+x)x^2 = x^2 (v^2-1-x)$$

그때 $r(x,v) = v^2 -1 -x$ 첫 번째 다항식입니다.

비슷하게

$$S(u,y) = p(uy,y) = y^2 - (1+ uy) u^2 y^2 = y^2 (1 - (1 + uy)u^2)$$

그때 $s(u,y) = 1 - (1 + uy)u^2 = 1 - u^2 + u^3y$.

입출력 형식

( 여기서 와 동일 ) 다항식은 (m+1) x (n+1)정수 계수 목록의 행렬 / 목록으로 표시됩니다. 아래 예에서 계수의 항은 해당 위치에 제공됩니다.

[   1 * 1,   1 * x,   1 * x^2,   1 * x^3,  ... , 1 * x^n ]
[   y * 1,   y * x,   y * x^2,   y * x^4,  ... , y * x^n ]
[   ...  ,   ...   ,   ...   ,    ...   ,  ... ,   ...   ]
[ y^m * 1, y^m * x, y^m * x^2, y^m * x^3 , ..., y^m * x^n]

타원 0 = x^2 + 2y^2 -1은

[[-1, 0, 1],
 [ 0, 0, 0],
 [ 2, 0, 0]]

원하는 경우 x및 을 교환 할 수도 있습니다 y. 각 방향에서 후행 0을 가질 수 있습니다 (즉, 단지 0 인 더 높은 도의 계수). 더 편리한 경우 모든 하위 하위 배열에 후행 0이 포함되지 않도록 직사각형 배열 대신 배열을 엇갈리게 배치 할 수도 있습니다.

• 출력 형식은 입력 형식과 동일합니다.

예

더 추가 ( 더 많은 소스 )

Trifolium
p(x,y) = (x^2 + y^2)^2 - (x^3 - 3xy^2)
r(x,v) = v^4  x + 2  v^2  x + x + 3  v^2 - 1
s(u,y) = u^4  y + 2  u^2  y + y - u^3 + 3  u

Descartes Folium
p(x,y) = y^3 - 3xy + x^3
r(x,v) = v^3  x + x - 3v
s(u,y) = u^3  y + y - 3u

그림이없는 예

Trifolium:
p:
[[0,0,0,-1,1],
 [0,0,0, 0,0],
 [0,3,2, 0,0],
 [0,0,0, 0,0],
 [1,0,0, 0,0]]
r: (using the "down" dimension for v instead of y)
[[-1,1],
 [ 0,0],
 [ 3,2],
 [ 0,0],
 [ 0,1]]
s: (using the "right" dimension for u instead of x)
[[0,3,0,-1,0],
 [1,0,2, 0,1]]

Descartes Folium:
p:
[[0, 0,0,1],
 [0,-3,0,0],
 [0, 0,0,0],
 [1, 0,0,0]]
r:
[[ 0,1],
 [-3,0],
 [ 0,0],
 [ 0,1]]
s:
[[0,-3,0,0],
 [1, 0,0,1]]

Lemniscate:
p: 
[[0,0,-1,0,1],
 [0,0, 0,0,0],
 [1,0, 0,0,0]]
r:
[[-1,0,1],
 [ 0,0,0],
 [ 1,0,0]]
s:
[[1,0,-1,0,0],
 [0,0, 0,0,0],
 [0,0, 0,0,1]]

Powers:
p:
[[0,1,1,1,1]]

r:
[[1,1,1,1]]

s:
[[0,1,0,0,0],
 [0,0,1,0,0],
 [0,0,0,1,0],
 [0,0,0,0,1]]

파이썬 3 + NumPy와, 165 134 바이트

lambda p:(r(p),r(p.T).T)
from numpy import*
def r(p):w,l=where(p);s=w+l;n=min(s);o=zeros((len(p),max(s)-n+1));o[w,s-n]=p[w,l];return o

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이 함수는 하나의 numpy2D 배열을 사용합니다p 을 입력으로 받아서 (r,s)두 개의 튜플을 반환합니다.numpy 2D 배열 합니다.

솔루션의 분석은 다음과 같습니다. 다항식을 계산하려면$r$각 용어를 다시 작성합니다 $x^jy^i$ 의 $p$ 으로 $x^{j+i}(\frac{y}{x})^i$그리고 $x^{j+i}u^i$ 에 $p(x,ux)$. 입력을 다시 정렬 할 수 있습니다$(m+1)\times (n+1)$ 매트릭스 $P$ 로 $(m+1)\times (m+n-1)$ 매트릭스 $D$ 에 해당하는 $p(x,ux)$ 설정하여 $D[i,j+i]=P[i,j]$. 그런 다음 시작과 끝에서 모두 0 열을 제거합니다.$D$ 축소를 수행하고 출력 행렬을 얻는 방법 $R$ ...에 대한 $r$.

계산하기 $s$우리는 단순히 교환 $x$ 과 $y$동일한 프로세스를 반복 한 다음 다시 바꿉니다. 이것은 컴퓨팅에 해당합니다$R$ ...에 대한 $P^T$ 그런 다음 결과를 바꿉니다.

다음 ungolfed 코드는 위의 계산 프로세스를 보여줍니다.

언 골프 (기본)

import numpy as np

def r(p):
    num_rows, num_cols = p.shape
    deg_mat = np.zeros((num_rows, num_rows + num_cols - 1))
    for i, row in enumerate(p):
        deg_mat[i, i:i+num_cols] = row
    non_zero_col_idx, = np.where(deg_mat.any(axis=0))
    return deg_mat[:,non_zero_col_idx.min():non_zero_col_idx.max()+1]

def rs(p):
    return r(p), r(p.T).T

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솔루션의 추가 개선은 매트릭스를 계산 $R$ 한 번의 패스로 $R[i,j+i-c]=P[i,j]$, 어디 $c=\min_{P[i,j]\neq 0}i+j$.

언 골프 (개선)

import numpy as np

def r(p):
    y_deg, x_deg = np.where(p)  # Retrieve degrees of y and x for non-zero elements in p
    total_deg = y_deg + x_deg
    min_total_deg = total_deg.min()
    max_total_deg = total_deg.max()
    out = np.zeros((p.shape[0], max_total_deg - min_total_deg + 1))
    out[y_deg, y_deg + x_deg - min_total_deg] = p[y_deg, x_deg]
    return out

def rs(p):
    return r(p), r(p.T).T

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APL (Dyalog Unicode) , 38 37 바이트

더미 리터럴 대신 사용하여 ngn 덕분에 1 바이트 절약+/∘⍴0

⊢∘⍉\+/∘⍴{q↓⍨⊃⍸×∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍺↑⍵}¨⊂,⊂∘⍉

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( ⎕io(인덱스 원점)이 0으로 설정된 열차 )

⊂ 옳은 논쟁

, 연결

• ⊂∘ 에워싸는

• ⍉ 바른 주장

$s$ 전자에서 계산 된 $r$ 후자에서

¨ 각각에

+/∘⍴{ ... } 왼쪽 인수로 다음 기능을 수행하십시오.

• +/ 합집합

  • • ⍴ 올바른 인수의 형태, 즉 행 + 열을 얻는다

올바른 인수는 각각의 동봉 된 행렬입니다.

⍺↑⍵⍺행 에 부족한 ⍵경우 ⍵(행 + 열> 행이기 때문에) 왼쪽 인수를 오른쪽 인수에서 여러 행으로 가져옵니다. 충분한 0으로 채워집니다

치환의 계산 $vx$ 또는 $uy$ 대신에 $y$ 또는 $x$⍵인덱스는 인덱스를 기준으로 열을 회전하여 수행되며 ⍵0으로 채워 지므로 ⍵원하는 양의 0이 열 앞에 효과적으로 추가됩니다.

⊖ 열을 회전

• ⍉⍵ 전치 ⍵

• ≢행 수를 모두 합하여 ≢⍉⍵열 수를 가져옵니다.⍵

• ⍳ 범위 0 .. 카운트 -1

• -⊖부정적으로, 다른 방향으로 회전하고 기본값을 0으로 설정 하면 궁극적으로 0 ¯1 ¯2 ...-(count-1)이되며, 이는 0 번째 열이 0만큼 회전하도록 각 열에서 자동으로 벡터화됩니다. 1 일 1 일 ...

q← 이것을 변수에 할당 q

이제 다항식을 최대의 거듭 제곱으로 나눕니다. $x$ 또는 $y$, 선행 0 행을 모두 제거해야합니다.

∨/ 행이 모두 0 인 경우 각 행에서 LCM으로 줄이면 0이되고 그렇지 않으면 양수가됩니다.

×부호를 확인 0→ → 0양수 → 1

⍸ 진리의 지표, 즉 1의 지수

⊃첫 번째 요소를 선택하고 ⊃⍸단순히 첫 번째 요소 의 색인을 가져옵니다 1

q↓⍨에서 많은 행을 삭제하고 q다시 ⎕io←0도움이됩니다.⍸ 모든 0 행을 삭제하기위한 올바른 값을 반환하는

(종료 기능)

$s$ 이미 달성했다 $r$ 두 번째 값은 ⊢∘⍉\

---

다른 접근 방식은 다음과 같습니다.

⍝(⊢∘⍉\+/∘⍴{q↓⍨⊃⍸×∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍺↑⍵}¨⊂,⊂∘⍉)¨a
⍝(⊢∘⍉\∘⌽⍴{q↓⍨⊃⍸×∨/q←(-⍳⍺)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⊂∘⍉,⊂)¨a
⍝(⊢∘⍉\⌽∘⍴{q↓⍨⊃⍸×∨/q←(-⍳⍺)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⊂,⊂∘⍉)¨a
⍝(⊢∘⍉\0{q↓⍨⊃⍸×∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⊂,⊂∘⍉)¨a
⍝(⊢∘⍉\+/∘⍴({⍵↓⍨⊃⍸×∨/⍵}(-∘⍳1⊃⊢∘⍴)⊖↑)¨⊂,⊂∘⍉)¨a
⍝(⊂∘⍉∘⊃@0⍴{q↓⍨⊃⍸×∨/q←(-⍳⍺)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⊂∘⍉,⊂)¨a
⍝{⊢∘⍉\{q↓⍨⊃⍸×∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⍵(⍉⍵)}¨a
⍝(⊢∘⍉\(({⍵↓⍨⊃⍸×∨/⍵}(-∘⍳1⊃⍴)⊖⊢↑⍨1⊥⍴)¨⊂,⊂∘⍉))¨a
⍝(0 1{⍉⍣⍺⊢q↓⍨⊃⍸×∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⊂,⊂∘⍉)¨a
⍝{⊢∘⍉\{q[;⍸×∨\∨⌿q←↑(,\0⍴⍨≢⍵),¨↓⍵]}¨⍵(⍉⍵)}¨a
⍝{⊢∘⍉\{q↓⍨1⍳⍨×∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⍵(⍉⍵)}¨a
⍝(⊢∘⍉\(((⊢↓⍨1⍳⍨0≠∨/)(-∘⍳1⊃⍴)⊖⊢↑⍨1⊥⍴)¨⊂,⊂∘⍉))¨a
⍝{⊢∘⍉\{q[⍸×∨\∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵;]}¨⍵(⍉⍵)}¨a
⍝{⊢∘⍉\{q↓⍨+/0=∨\∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⍵(⍉⍵)}¨a
⍝{⊢∘⍉\{q↓⍨⌊/+⌿∧⍀0=q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⍵(⍉⍵)}¨a
⍝(⌽∘⍉¨1↓({⊖⍉q[⍸×∨\∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵;]}\3/⊂))¨a
⍝{⊢∘⍉\{↑(↓q)/⍨∨\×∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⍵(⍉⍵)}¨a
⍝f←⊢∘⍉\⋄{f{q[⍸×∨\∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵;]}¨f⍵⍵}¨a
⍝{1↓⌽∘⍉¨{⊖⍉q[⍸×∨\∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵;]}\3/⊂⍵}¨a
⍝{f←{q[⍸×∨\∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵;]}⋄(f⍵)(⍉f⍉⍵)}¨a
⍝{⊢∘⍉\{↑(↓q)/⍨∨\0≠∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⍵(⍉⍵)}¨a
⍝{⊢∘⍉\{(0~⍨∊⍵)@(↓⍉(⊢-⌊/)@1+⍀⍉↑⍸0≠⍵)⊢0⍴⍨,⍨⌈/⍴⍵}¨⍵(⍉⍵)}¨a