종속 형 이론의 우주

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Homotopy Type Theory 온라인 서적 에서 종속 유형 이론에 대해 읽고 있습니다 .

의 섹션 1.3에서 유형 이론 장, 그것의 계층 구조의 개념을 소개하고 우주를 : , 어디 $\mathcal{U}_0 : \mathcal{U}_1 : \mathcal{U}_2 : \cdots$

모든 우주 는 다음 우주 의 요소입니다 . 또한, 우리는 우리 우주가 누적된다고 가정합니다. , 우주 의 모든 요소는 우주의 요소이기도합니다 . $\mathcal{U}_i$ $\mathcal{U}_{i+1}$ $i^{\mathrm{th}}$ $(i+1)^{\mathrm{th}}$

그러나 부록 A에서 다양한 유형에 대한 구성 규칙을 살펴보면 언뜻 보면 우주가 막대 위에 전제로 나타나면 동일한 우주가 아래에 나타납니다. 예를 들어 코 제품 유형 형성 규칙의 경우 :

\frac{Γ ⊢ A : U_{i} Γ ⊢ B : U i}{Γ ⊢ A + B : U_{i}} (+ - F O R M)

$\dfrac{\Gamma \vdash A : \mathcal{U}_i \quad \Gamma \vdash B : \mathcal{U}i}{\Gamma \vdash A + B : \mathcal{U}_i}(+\mbox{-}FORM)$

내 질문은 왜 계층 구조가 필요한가요? 어떤 환경에서 유니버스에서 계층 구조의 상위로 이동해야합니까? 의 조합 주어진 방법은 정말 나에게 명확하지 않다 , 당신은 타입으로 끝낼 수 있습니다 입니다 하지 에 . 자세한 내용은에서 : 부록 A.2.4, A.2.5, A.2.6, A.2.7, A.2.8, A.2.9, A.2.10, A.3.2의 섹션의 형성 규칙 중 하나가 언급 에 전제와 판단, 또는 단지 판단. $A_m: \mathcal{U}_i$ $B$ $\mathcal{U}_i$ $\mathcal{U}_i$

이 책은 또한 우주를 할당하는 공식적인 방법이 있다고 암시합니다.

인수가 올바른지 의심되는 경우이를 확인하는 방법은 표시되는 모든 유니버스에 일관된 수준을 할당하는 것입니다.

레벨을 일관되게 할당하는 프로세스는 무엇입니까?

$\mathcal{U}:\mathcal{U}$ $\mathcal{U}_j$ $\mathcal{U}_i$ $j > i$

type-theory homotopy-type-theory dependent-types

— huynhjl
소스

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@huynhjl 역설을 피하기 위해 유니버스를 사용할 필요는 없습니다. 예를 들어 ZF 이론이나 Quine의 NF 등 두 가지 대안적인 수학적 기초가 역설을 사용하지 않습니다. 우주는 역설을 피할 수있는 편리한 방법이며 동시에 표현력이 뛰어난 유형을 구성 할 수 있습니다.

— Martin Berger

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A \to U_{i}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

A \to U_{i}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

U_{i}

$\mathcal{U}_i$

U_{i} : U_{i}

$\mathcal{U}_i : \mathcal{U}_i$

U

$\mathcal{U}$

\frac{⊢ Γ : c t x}{Γ ⊢ U_{i} : U_{i + 1}},

$\frac{\vdash \Gamma : ctx}{\Gamma \vdash \mathcal{U}_i : \mathcal{U}_{i+1}},$

— 마틴 버거
소스

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$X : \mathcal{U}_i$ $i \leq j$ $X : \mathcal{U}_j$ $A : \mathcal{U}_{42}$ $A \to \mathcal{U}_{99}$ $\to$

\frac{Γ ⊢ X : U_{i} Γ ⊢ Y : U_{i}}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{i}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_i}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_i}$

X \to Y

$X \to Y$

Π_{x : X} Y

$\Pi_{x : X} Y$

Π

$\Pi$

A

$A$

U_{42}

$\mathcal{U}_{42}$

U_{99}

$\mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

A : U_{100}

$A : \mathcal{U}_{100}$

A \to U_{99}

$A \to \mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

$\to$

\frac{Γ ⊢ X : U_{i} Γ ⊢ Y : U_{j}}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{max (i, j)}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_{\max(i,j)}}$

\frac{Γ ⊢ X : U_{i} Γ ⊢ Y : U_{j} i \leq k j \leq k}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{k}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j \qquad i \leq k \qquad j \leq k}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_k}$

— 안드레이 바우어
소스